Postingan ini membahas contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Persamaan lingkaran merupakan salah satu pelajaran matematika SMA kelas 11 semester pertama. Rumus persamaan lingkaran sebagai berikut:
Bentuk umum persamaan lingkaran:x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Persamaan lingkaran berpusat di O(0,0):
x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran berpusat di (a,b):
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
jari-jari r = √
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaian dibawah ini.
Contoh soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 65 = 0.
Penyelesaian soal / pembahasan
Pada soal ini diketahui:
- 2a = 6 atau a = 6/2 = 3
- 2b = -2 atau b = -2/2 = -1
- c = – 65
Jari-jari r = √
Jari-jari = √
jari-jari r = √ 75 = 5 √ 3
Contoh soal 2
Tentukan persamaan lingkaran dititik pusat (4 , 3) dan melalui titik (0 , 0).
Penyelesaian soal / pembahasan
Pada soal ini diketahui:
- a = 4
- b = 3
- x = 0
- y = 0
(x – a)2 + (x – b)2 = r2
(0 – 4)2 + (0 – 3)2 = r2
16 + 9 = r2
r2 = 25
Jadi persamaan lingkaran sebagai berikut:
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25
Contoh soal 3
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-6 , 3) dan menyinggung sumbu x.
Penyelesaian soal / pembahasan
Lingkaran yang menyinggung sumbu x berarti jari-jarinya sepanjang titik pusat y atau r = 3. Jadi persamaan lingkaran (x – (-6))2 + (y – 3)2 = 32 atau (x + 6)2 + (y – 3)2 = 9.
Contoh soal 4
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2 , 5) dan menyinggung sumbu y.
Penyelesaian soal / pembahasan
Lingkaran yang menyinggung sumbu y berarti jari-jarinya sepanjang titik pusat x atau r = 2. Jadi persamaan lingkaran (x + 2)2 + (y – 5)2 = 22 atau (x + 2)2 + (y – 5)2 = 4.
Contoh soal 5
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-4 , 3) dan menyinggung garis 3x – 2y – 2 = 0.
Penyelesaian soal / pembahasan
Hitung jari-jari lingkaran dengan rumus sebagai berikut:r =
r =
Jadi persamaan lingkaran sebagai berikut:
(x + 4)2 + (y – 3)2 = 42 atau (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16
Contoh soal 6 (UN 2017)
Persamaan lingkaran dengan pusat dititik (2 , -3) dan menyinggung garis x = 5 adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 -4x + 6y + 9 = 0
C. x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
D. x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
Penyelesaian soal / pembahasan
Jari -jari lingkaran pada soal ini r = 5 – 2 = 3Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 32
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9
x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 7 (UN 2018)
Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (-2 , 5) dan melalui titik (3 , -7) adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 10y – 140 = 0
B. x2 + y2 – 4x – 10y – 140 = 0
C. x2 + y2 + 4x – 10y – 198 = 0
D. x2 + y2 + 10x – 4y – 140 = 0
E. x2 + y2 + 10x – 4y – 198 = 0
Penyelesaian soal / pembahasan
Cara menjawab soal ini sebagai berikut:
Hitung r2 dengan rumus dibawah ini:r2 = (3 – (-2))2 + (-7 – 5)2 = 25 + 144 = 169
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2)2 + (x – 5)2 = 169
(x + 2)2 + (y – 5)2 = 169
x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 – 169 = 0
x2 + y2 + 4x + 10y – 140 = 0
Soal ini jawabannya A.
Contoh soal 9 (UN 2018)
Persamaan lingkaran yang berpusat di P(3 , 2) dan melalui titik (7 , 5) adalah…
A. x2 + y2 – 4y – 54 = 0
B. x2 + y2 – 6x – 32 = 0
C. x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
D. x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
E. x2 + y2 + 6x – 4y – 54 = 0
Penyelesaian soal / pembahasan
r2 = (7 – 3)2 + (5 – 2)2 = 16 + 9 = 25Persamaan lingkaran:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0
x2 + y2 -6x – 4y – 12 = 0
Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 10 (UN 2016)
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y – 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x -y + 4 = 0 adalah …
A. 2x – y = 14
B. 2x – y = 10
C. 2x – y = 5
D. 2x – y = -5
E. 2x – y = -6
Penyelesaian soal / pembahasan
Pada soal ini diketahui:
- 2a = -2 atau a = -1
- 2b = 6 atau b = 3
- c = – 10
Cara menjawab soal ini sebagai berikut:
Gradien garis 2x – y = 4 adalah m = 2. Karena sejajar maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan m = 2 dengan persamaan sebagai berikut:y + b = m (x + a) ± √
y + 3 = 2 (x – 1) ± √
y + 3 = 2x – 2 ± √
y + 3 = 2x -2 + 10 = 2x + 8 atau 2x – y = -5
y + 3 = 2x -2 – 10 = 2x – 12 atau 2x – y = 15
Jadi salah satu persamaan garis singgung lingkaran adalah 2x – y = -5. Jawaban soal ini adalah D.
Contoh soal 11 (UN 2018)
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 10x + 2y + 1 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah…
A. 5y – 12x – 130 = 0
B. 5y – 12x + 130 = 0
C. 5y + 12x + 130 = 0
D. 5x – 12y + 130 = 0
E. 5x + 12y + 130 = 0
Penyelesaian soal / pembahasan
Pada soal ini diketahui:
- 2a = – 10 atau a = -5
- 2b = 2 atau b = 1
- c = 1
y + b = m (x + a) ± √
y + 1 = 12/5 (x – 5) ± √
y + 1 = 12/5 x – 12 ± 13
y + 1 = 12/5x – 12 + 13 = 12/5x + 1 (x 5)
5y + 5 = 12x + 5 atau 5y – 12x = 0
y + 1 = 12/5 x – 12 – 13 = 12/5 x – 25 (x 5)
5y + 5 = 12x – 125 atau 5y – 12x + 130 = 0
Soal ini jawabannya D.