Lompat ke konten

Contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya

  • oleh
Persamaan lingkaran

Artikel ini membahas contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) sebagai berikut.

  • x2 + y2 = r2

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) sebagai berikut.

  • (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Bentuk umum persamaan lingkaran sebagai berikut.

  • x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Contoh soal persamaan lingkaran kurikulum merdeka

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 1

Diketahui pusat lingkaran terletak pada titik pusat O(0,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut, jika:
a. Jari-jari r = \sqrt {15}
b. diameter d = \frac {4} {5} \sqrt {5}

Penyelesaian soal / pembahasan

  • Jawaban a

x2+ y2 = r2
x2 + y2 = (\sqrt {15})2
x2 + y2 = 15

  • Jawaban b

r = \frac {1} {2} d = \frac {1} {2} \frac {4} {5} \sqrt {5} = \frac {2} {5} \sqrt {5}
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = (\frac {2} {5} \sqrt {5})2
x2 + y2 = \frac {4} {25} . 5
x2 + y2 = \frac {4} {5}


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 2

Diketahui lingkaran berpusat pada titik pusat Cartesius O(0,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut yang melalui titik:
a. A(1,2)
b. E(1\frac {1} {2},5)

Penyelesaian soal / pembahasan

  • Jawaban a

Cari jari-jari kuadrat (r2):
x2 + y2 = r2
12 + 22 = r2
1 + 4 = r2
r2 = 5

Persamaan lingkaran:
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 5

  • Jawaban b

Cari jari-jari kuadrat (r2):
x2 + y2 = r2
(\frac {3} {2})2 + 52 = r2
\frac {9} {4} + 25 = r2
r2 = \frac {9} {4} + \frac {100} {4} = \frac {109} {4}

Persamaan lingkaran:
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = \frac {109} {4}


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 3

Tentukan unsur lingkaran (pusat dan jari-jari), jika diketahui persamaan lingkarannya adalah sebagai berikut.
a. (x – 1)2 + (y + 5)2 = 9
b. x2 + y2 – 6x + 8y – 39 = 0
c. x2 + y2 + 4x – 6y – 17 = 0
d. x2 + y2 = 15

Penyelesaian soal / pembahasan

  • Jawaban (a)

Pusat = (1, -5)
Jari-jari (r) = \sqrt {9} = 3

  • Jawaban (b):

A = -6 maka a = \frac {A} {-2} = \frac {-6} {-2} = 3
B = 8 maka b = \frac {B} {-2} = \frac {8} {-2} = -4
Pusat = (a, b) = (3, -4)
r = \sqrt {a^2 + b^2 - c}
r = \sqrt {3^2 + (-4)^2 - (-39)} = \sqrt {64} = 8

  • Jawaban c

A = 4 maka a = \frac {A} {-2} = \frac {4} {-2} = -2
B = -6 maka b = \frac {B} {-2} = \frac {-6} {-2} = 3
Pusat = (a, b) = (-2, 3)
r = \sqrt {a^2 + b^2 - c}
r = \sqrt {(-2)^2 + 3^2 - (-17)} = \sqrt {64}
r = \sqrt {30}

  • Jawaban d

Pusat = O(0,0)
r = \sqrt {15}


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 4

Sebuah persegi ABCD secara berturut-turut terletak pada titik A(1,1), B(4,1), C(4,4), D(1,4). Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi ABCD tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Pembahasan soal persamaan lingkaran nomor 4

Berdasarkan gambar di atas maka persamaan lingkaran sebagai berikut.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2,5)2 + (y – 2,5)2 = 1,52
(x – 2,5)2 + (y – 2,5)2 = 2,25


Contoh soal persamaan lingkaran pilihan ganda


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 5 (UN 2017)

Persamaan lingkaran dengan pusat dititik (2 , -3) dan menyinggung garis x = 5 adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 -4x + 6y + 9 = 0
C. x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
D. x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Jari -jari lingkaran pada soal ini r = 5 – 2 = 3
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 32
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9
x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 6 (UN 2018)

Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (-2 , 5) dan melalui titik (3 , -7) adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 10y – 140 = 0
B. x2 + y2 – 4x – 10y – 140 = 0
C. x2 + y2 + 4x – 10y – 198 = 0
D. x2 + y2 + 10x – 4y – 140 = 0
E. x2 + y2 + 10x – 4y – 198 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

Hitung r2 dengan rumus dibawah ini:
r2 = (3 – (-2))2 + (-7 – 5)2 = 25 + 144 = 169
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2)2 + (x – 5)2 = 169
(x + 2)2 + (y – 5)2 = 169
x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 – 169 = 0
x2 + y2 + 4x + 10y – 140 = 0

Soal ini jawabannya A.


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 7 (UN 2018)

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(3 , 2) dan melalui titik (7 , 5) adalah…
A. x2 + y2 – 4y – 54 = 0
B. x2 + y2 – 6x – 32 = 0
C. x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
D. x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
E. x2 + y2 + 6x – 4y – 54 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

r2 = (7 – 3)2 + (5 – 2)2 = 16 + 9 = 25
Persamaan lingkaran:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0
x2 + y2 -6x – 4y – 12 = 0

Soal ini jawabannya D.


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 8 (UN 2016)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y – 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x -y + 4 = 0 adalah …
A. 2x – y = 14
B. 2x – y = 10
C. 2x – y = 5
D. 2x – y = -5
E. 2x – y = -6

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

  • 2a = -2 atau a = -1
  • 2b = 6 atau b = 3
  • c = – 10

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

Gradien garis 2x – y = 4 adalah m = 2. Karena sejajar maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan m = 2 dengan persamaan sebagai berikut:
y + b = m (x + a) ±
(1 + m2) (a2 + b2 – c)

y + 3 = 2 (x – 1) ±
(1 + 22) (-12 + 32 – (-10))

y + 3 = 2x – 2 ±
100

y + 3 = 2x -2 + 10 = 2x + 8 atau 2x – y = -5
y + 3 = 2x -2 – 10 = 2x – 12 atau 2x – y = 15

Jadi salah satu persamaan garis singgung lingkaran adalah 2x – y = -5. Jawaban soal ini adalah D.


Contoh soal persamaan lingkaran nomor 9 (UN 2018)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 10x + 2y + 1 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah…
A. 5y – 12x – 130 = 0
B. 5y – 12x + 130 = 0
C. 5y + 12x + 130 = 0
D. 5x – 12y + 130 = 0
E. 5x + 12y + 130 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

  • 2a = – 10 atau a = -5
  • 2b = 2 atau b = 1
  • c = 1
Gradien dari garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah m2 = –
5
12
. Karena tegak lurus maka berlaku persamaan m1 . m2 = – 1 atau m1 = –
1
m2
= –
1
– 5/12
=
12
5

y + b = m (x + a) ±
(1 + m2) (a2 + b2 – c)

y + 1 = 12/5 (x – 5) ±
(1 + (12/5)2) (-52 + 12 – 1

y + 1 = 12/5 x – 12 ± 13
y + 1 = 12/5x – 12 + 13 = 12/5x + 1 (x 5)
5y + 5 = 12x + 5 atau 5y – 12x = 0
y + 1 = 12/5 x – 12 – 13 = 12/5 x – 25 (x 5)
5y + 5 = 12x – 125 atau 5y – 12x + 130 = 0

Soal ini jawabannya D.

You cannot copy content of this page