Contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya

Artikel ini membahas contoh soal persamaan lingkaran dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) sebagai berikut.

x² + y² = r²

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) sebagai berikut.

(x – a)² + (y – b)² = r²

Bentuk umum persamaan lingkaran sebagai berikut.

x² + y² + Ax + By + C = 0

Contoh soal persamaan lingkaran

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 1

Diketahui pusat lingkaran terletak pada titik pusat O(0,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut, jika:
a. Jari-jari r = $\sqrt {15}$
b. diameter d = $\frac {4} {5} \sqrt {5}$

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban a

x²+ y² = r²
x² + y² = ( $\sqrt {15}$ )²
x² + y² = 15

Jawaban b

r = $\frac {1} {2}$ d = $\frac {1} {2} \frac {4} {5} \sqrt {5}$ = $\frac {2} {5} \sqrt {5}$
x² + y² = r²
x² + y² = ( $\frac {2} {5} \sqrt {5}$ )²
x² + y² = $\frac {4} {25}$ . 5
x² + y² = $\frac {4} {5}$

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 2

Diketahui lingkaran berpusat pada titik pusat Cartesius O(0,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut yang melalui titik:
a. A(1,2)
b. E(1 $\frac {1} {2}$ ,5)

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban a

Cari jari-jari kuadrat (r²):
x² + y² = r²
1² + 2² = r²
1 + 4 = r²
r² = 5

Persamaan lingkaran:
x² + y² = r²
x² + y² = 5

Jawaban b

Cari jari-jari kuadrat (r²):
x² + y² = r²
( $\frac {3} {2}$ )² + 5² = r²
$\frac {9} {4}$ + 25 = r²
r² = $\frac {9} {4}$ + $\frac {100} {4}$ = $\frac {109} {4}$

Persamaan lingkaran:
x² + y² = r²
x² + y² = $\frac {109} {4}$

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 3

Tentukan unsur lingkaran (pusat dan jari-jari), jika diketahui persamaan lingkarannya adalah sebagai berikut.
a. (x – 1)² + (y + 5)² = 9
b. x² + y² – 6x + 8y – 39 = 0
c. x² + y² + 4x – 6y – 17 = 0
d. x² + y² = 15

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban (a)

Pusat = (1, -5)
Jari-jari (r) = $\sqrt {9}$ = 3

Jawaban (b):

A = -6 maka a = $\frac {A} {-2}$ = $\frac {-6} {-2}$ = 3
B = 8 maka b = $\frac {B} {-2}$ = $\frac {8} {-2}$ = -4
Pusat = (a, b) = (3, -4)
r = $\sqrt {a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt {3^2 + (-4)^2 - (-39)}$ = $\sqrt {64}$ = 8

Jawaban c

A = 4 maka a = $\frac {A} {-2}$ = $\frac {4} {-2}$ = -2
B = -6 maka b = $\frac {B} {-2}$ = $\frac {-6} {-2}$ = 3
Pusat = (a, b) = (-2, 3)
r = $\sqrt {a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt {(-2)^2 + 3^2 - (-17)}$ = $\sqrt {64}$
r = $\sqrt {30}$

Jawaban d

Pusat = O(0,0)
r = $\sqrt {15}$

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 4

Sebuah persegi ABCD secara berturut-turut terletak pada titik A(1,1), B(4,1), C(4,4), D(1,4). Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi ABCD tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Pembahasan soal persamaan lingkaran nomor 4

Berdasarkan gambar di atas maka persamaan lingkaran sebagai berikut.

(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 2,5)² + (y – 2,5⁾² = 1,5²
(x – 2,5)² + (y – 2,5)² = 2,25

Contoh soal persamaan lingkaran pilihan ganda

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 5 (UN 2017)

Persamaan lingkaran dengan pusat dititik (2 , -3) dan menyinggung garis x = 5 adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 -4x + 6y + 9 = 0
C. x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
D. x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Jari -jari lingkaran pada soal ini r = 5 – 2 = 3
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 32
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9
x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 6 (UN 2018)

Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (-2 , 5) dan melalui titik (3 , -7) adalah…
A. x2 + y2 + 4x – 10y – 140 = 0
B. x2 + y2 – 4x – 10y – 140 = 0
C. x2 + y2 + 4x – 10y – 198 = 0
D. x2 + y2 + 10x – 4y – 140 = 0
E. x2 + y2 + 10x – 4y – 198 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

Hitung r2 dengan rumus dibawah ini:
r2 = (3 – (-2))2 + (-7 – 5)2 = 25 + 144 = 169
Persamaan lingkaran:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2)2 + (x – 5)2 = 169
(x + 2)2 + (y – 5)2 = 169
x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 – 169 = 0
x2 + y2 + 4x + 10y – 140 = 0

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 7 (UN 2018)

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(3 , 2) dan melalui titik (7 , 5) adalah…
A. x2 + y2 – 4y – 54 = 0
B. x2 + y2 – 6x – 32 = 0
C. x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
D. x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
E. x2 + y2 + 6x – 4y – 54 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

r2 = (7 – 3)2 + (5 – 2)2 = 16 + 9 = 25
Persamaan lingkaran:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0
x2 + y2 -6x – 4y – 12 = 0

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 8 (UN 2016)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y – 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x -y + 4 = 0 adalah …
A. 2x – y = 14
B. 2x – y = 10
C. 2x – y = 5
D. 2x – y = -5
E. 2x – y = -6

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

2a = -2 atau a = -1
2b = 6 atau b = 3
c = – 10

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

Gradien garis 2x – y = 4 adalah m = 2. Karena sejajar maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan m = 2 dengan persamaan sebagai berikut:
y + b = m (x + a) ± √

(1 + m2) (a2 + b2 – c)

y + 3 = 2 (x – 1) ± √

(1 + 22) (-12 + 32 – (-10))

y + 3 = 2x – 2 ± √

100

y + 3 = 2x -2 + 10 = 2x + 8 atau 2x – y = -5
y + 3 = 2x -2 – 10 = 2x – 12 atau 2x – y = 15

Jadi salah satu persamaan garis singgung lingkaran adalah 2x – y = -5. Jawaban soal ini adalah D.

Contoh soal persamaan lingkaran nomor 9 (UN 2018)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 10x + 2y + 1 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah…
A. 5y – 12x – 130 = 0
B. 5y – 12x + 130 = 0
C. 5y + 12x + 130 = 0
D. 5x – 12y + 130 = 0
E. 5x + 12y + 130 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Pada soal ini diketahui:

2a = – 10 atau a = -5
2b = 2 atau b = 1
c = 1

Gradien dari garis 5x + 12y – 8 = 0 adalah m2 = –

. Karena tegak lurus maka berlaku persamaan m1 . m2 = – 1 atau m1 = –

= –

– 5/12

y + b = m (x + a) ± √

(1 + m2) (a2 + b2 – c)

y + 1 = 12/5 (x – 5) ± √

(1 + (12/5)2) (-52 + 12 – 1

y + 1 = 12/5 x – 12 ± 13
y + 1 = 12/5x – 12 + 13 = 12/5x + 1 (x 5)
5y + 5 = 12x + 5 atau 5y – 12x = 0
y + 1 = 12/5 x – 12 – 13 = 12/5 x – 25 (x 5)
5y + 5 = 12x – 125 atau 5y – 12x + 130 = 0

Soal ini jawabannya D.