Contoh soal perkalian matriks dan penyelesaiannya + jawaban

Artikel ini membahas contoh soal perkalian matriks dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Dua matriks dapat dilakukan perkalian jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua. Perkalian matriks terdiri dari 2 macam yaitu perkalian skalar dan perkalian antar matriks. Kedua macam perkalian tersebut mempunyai sifat masing-masing.

Jika A dan B adalah matriks berordo m x n sedangkan k₁ dan k₂ adalah skalar, maka berlaku sifat perkalian skalar sebagai berikut:

k₁ (A + B) = k₁A + k₁B
(k₁ + k₂) A = k₁A + k₂A
k₁(k₂A) = (k₁k₂) A

Jika A, B dan C adalah matriks berordo m x n dan k adalah skalar maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut:

A x B ≠ B x A
k x (A x B) = (k x A) x B
A x (B x C) = (A x B) x C
A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
(A + B) x C = (A x C) + (B x C)
Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas yaitu I sehingga AI = IA = A
Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O

Secara umum cara perkalian matriks sebagai berikut:

Contoh soal perkalian matriks

Contoh soal 1

Diketahui A = $\begin {bmatrix}3 & 1 \\ 2 & 0 \end {bmatrix}$ , B = $\begin {bmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}$ dan C = $\begin {bmatrix}-1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end {bmatrix}$ . Tentukan hasil perkalian berikut:

A x B
B x C

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

Contoh soal 2

Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut:

$\begin {bmatrix}2 & a \\ b & 1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}4 \\ -1\end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}6 \\ -5 \end {bmatrix}$
$\begin {bmatrix}a & b \\ 2 & 3 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}4 & 6 \\ 11 & 16 \end {bmatrix}$

Penyelesaian soal / pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

Berdasarkan gambar diatas diperoleh:

8 – a = 6 atau a = 8 – 6 = 2
4b – 1 = -5 atau 4b = -5 + 1 = -4 sehingga b = -4/4 = -1

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

a = 4 – 3b = 4 – 3 . 1 = 1. Jadi a = b = 1.

Contoh soal 3 (UN SMK 2015)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}3 & 1 \\ -2 & -5 \end {bmatrix}$ dan $B = \begin {bmatrix}4 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & 3 \end {bmatrix}$ . Hasil dari A x B adalah …
A. $\begin {bmatrix}14 & -2 & -3 \\ -18 & 2 & -11 \end {bmatrix}$
B. $\begin {bmatrix}14 & 2 & -11 \\ -18 & -3 & -3 \end {bmatrix}$
C. $\begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ 18 & 2 & -11 \end {bmatrix}$
D. $\begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ -18 & 2 & -11 \end {bmatrix}$
E. $\begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ -18 & 2 & -4 \end {bmatrix}$

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil perkalian matriks contoh soal 1 sebagai berikut:

$A x B = \begin {bmatrix}3 . 4 + 1 . 2 & 3 . (- 1) + 1 . 0 & 3 . (-2) + 1 . 3 \\ (-2) . 4 + (-5) . 2 & (-2) . (-1) + -5 . 0 & (-2) . (-2) + -5 . 3 \end {bmatrix}$
$A x B = \begin {bmatrix}14 & -3 & -3 \\ -18 & 2 & -4 \end {bmatrix}$

Jawaban soal ini E.

Contoh soal 4 (UN 2015 SMK)

Diketahui matriks $M = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & -2 \end {bmatrix}$ dan $N = \begin {bmatrix}-1 & 2 & 3 \\ -6 & 1 & -4 \end {bmatrix}$ . Hasil dari M x N adalah…
A. $\begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ 7 & 8 & 23 \end {bmatrix}$
B. $\begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ -17 & 8 & 23 \end {bmatrix}$
C. $\begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ -17 & 8 & -7 \end {bmatrix}$
D. $\begin {bmatrix}7 & 3 \\ 14 & 8 \end {bmatrix}$
E. $\begin {bmatrix}7 & 14 \\ 3 & 8 \end {bmatrix}$

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil perkalian matriks contoh soal 2 sebagai berikut:

$M x N = \begin {bmatrix}1 . (-1) + 2 . (-6) & 1 . 2 + 2 . 1 & 1 . 3 + 2 . (-4) \\ 3 . (-1) + 4 . (-6) & 3 . 2 + 4 . 1 & 3 . 3 + 4 . (-4) \\ 5 . (-1) + (-2) . (-6) & 5 . 2 + (-2) . 1 & 5 . 3 + (-2) . (-4) \end {bmatrix}$
$M x N = \begin {bmatrix}-13 & 4 & -5 \\ -27 & 10 & -7 \\ 7 & 8 & 23 \end {bmatrix}$

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 5 (UN 2016 IPA)

Diketahui persamaan matriks:
$3 \begin {bmatrix}-4 & 2 \\ 10 & 3 \end {bmatrix} + 2 \begin {bmatrix}1 & -4 \\ -3 & -1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}1 & x \\ 2 & 5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}2 & y \\ 4 & 1 \end {bmatrix}$
Nilai dari 2y – 3x = …
A. -9
B. -7
C. -4
D. 8
E. 11

Penyelesaian soal / pembahasan

Hasil operasi matriks ruas kiri sebagai berikut:

$3 \begin {bmatrix}-4 & 2 \\ 10 & 3 \end {bmatrix} + 2 \begin {bmatrix}1 & -4 \\ -3 & -1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}-12 & 6 \\ 30 & 9 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}2 & -8 \\ -6 & -2 \end {bmatrix}$
$= \begin {bmatrix}-12 + 2 & 6 + -8 \\ 30 + (-6) & 9 + (-2) \end {bmatrix}$
$= \begin {bmatrix}-10 & -2 \\ 24 & 7 \end {bmatrix}$

Hasil perkalian matriks yang berada diruas kanan sebagai berikut:

$\begin {bmatrix}1 & x \\ 2 & 5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}2 & y \\ 4 & 1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}1 . 2 + 4x & 1 . y + x \\ 2 . 2 + 5 . 4 & 2y + 5 . 1 \end {bmatrix}$
$= \begin {bmatrix}4x + 2 & y + x \\ 22 & 2y + 5 \end {bmatrix}$

Digabung hasilnya

$\begin {bmatrix}-10 & -2 \\ 24 & 7 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}4x + 2 & y + x \\ 22 & 2y + 5 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hasil diatas kita peroleh:

4x + 2 = -10 atau 4x = -12 sehingga x = -12/4 = -3
2y + 5 = 7 atau 2y = 2 sehingga y = 2/2 = 1

Dengan demikian nilai dari 2y – 2x = 2 . 1 – 2 (-3) = 2 + 6 = 8. Jadi jawaban soal nomor 3 adalah D.

Contoh soal 6 (UN 2019)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}a & b \\ 4 & 7 \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}3 & 7 \\ 1 & 6 \end {bmatrix}$ dan $C = \begin {bmatrix}11 & 44 \\ 19 & 70 \end {bmatrix}$ . Jika AB = C, nilai a + b = …
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
E. 10

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita selesaikan dahulu perkalian matriks A x B yaitu:

$A x B = \begin {bmatrix}a . 3 + b . 1 & a . 7 + b . 6 \\ 4 . 3 + 7 . 1 & 4 . 7 & 7 . 6 \end {bmatrix}$
$A x B = \begin {bmatrix}3a + b & 7a + 6b \\ 19 & 70 \end {bmatrix}$

Jadi hubungan AB = C sebagai berikut:

$\begin {bmatrix}3a + b & 7a + 6b \\ 19 & 70 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}11 & 44 \\ 19 & 70 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hubungan diatas kita peroleh:

3a + b = 11 (persamaan 1)
7a + 6b = 44 (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh:

Untuk menghitung nilai b caranya adalah kita subtitusi a = 2 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:

3a + b = 11
3 . 2 + b = 11
6 + b = 11
b = 11 – 6 = 5

Jadi nilai a + b = 2 + 5 = 7. Jawaban soal 4 adalah D.

Contoh soal 7 (UN IPA 2017)

Nilai dari 2x – y dari persamaan matriks:
$\begin {bmatrix}5 & 3x \\ y-1 & 2 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}0 & 3 \\ -1 & 1 \end {bmatrix}$
adalah…
A. -7
B. -1
C. 1
D. 7
E. 8

Penyelesaian soal

Hasil operasi ruas kiri matriks:

$\begin {bmatrix}5 & 3x \\ y-1 & 2 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}5-7 & 3x - (1-2y) \\ y-1-2x & 2-6 \end {bmatrix}$
$=\begin {bmatrix}-2 & 3x + 2y - 1 \\ -2x + y - 1 & -4 \end {bmatrix}$

Hasil perkalian 2 matriks ruas kanan sebagai berikut:

$\begin {bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}0 & 3 \\ -1 & 1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}6 . 0 + 2 . -1 & 6 . 3 + 2 . 1 \\ -4 . 0 + 8 . -1 & -4 . 3 & 8 . 1 \end {bmatrix}$
$=\begin {bmatrix}-2 & 20 \\ -8 & -4 \end {bmatrix}$

Dengan demikian kita peroleh hubungan sebagai berikut:

$\begin {bmatrix}-2 & 3x + 2y - 1 \\ -2x + y - 1 & -4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}-2 & 20 \\ -8 & -4 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hubungan tersebut kita peroleh:

3x + 2y -1 = 20 atau 3x + 2y = 21 (persamaan 1)
-2x + y -1 = -8 atau -2x + y = -7 (persamaan 2)

Karena yang dicari adalah 2x – y maka persamaan 2 kita kali dengan (-) sehinga didapat:

-2x + y = -7 (x -)
2x – y = 7

Jadi soal ini jawabannya D.

Contoh soal perkalian matriks dan penyelesaiannya + jawaban

Contoh soal perkalian matriks

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan