Contoh soal determinan matriks & transpose matriks dan pembahasan

Artikel ini membahas contoh soal determinan matriks & transpose matriks dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Determinan matriks ditulis dengan det (A) atau |A|. Transpose matriks A, ditulis A^t adalah matriks yang elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan mengubah setiap elemen baris ke-n dari matriks A menjadi elemen kolom ke-n dari matrik A^t dan setiap elemen kolom ke-m matriks A menjadi elemen baris ke-m dari matriks A^t.

Cara menentukan determinan matriks ordo 2 x 2, misalkan matriks $A = \begin {bmatrix}a & b \\ c & d \end {bmatrix}$ maka determinan A = det (A) = a . d – b . c.

Jika matriks A berordo 3 x 3 maka cara menentukan determinannya seperti gambar dibawah ini:

Jadi determinan matriks A = det (A) = (a . e . i) + (b . f . g) + (c . d . h) – (c . e . g) – (a . f . h) – (b . d . i).

Transpose matriks adalah mengubah baris menjadi kolom atau sebaliknya. Cara menentukan transpose matriks sebagai berikut:

$A = \begin {bmatrix}a & b \\ c & d \\ e & f \end {bmatrix}$
$A^T = \begin {bmatrix}a & c & e \\ b & d & f \end {bmatrix}$

Contoh soal determinan matriks

Contoh soal 1

Tentukan determinan dari matriks $A = \begin {bmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada matriks A kita ketahui a = 3, b = 4, c = 5 dan d = 6. Jadi determinan A = det (A) = a.d – b.c = 3 . 6 – 4 .5 = 18 – 20 = -2.

Contoh soal 2

Hitunglah determinan matriks $B = \begin {bmatrix}1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 4 & 0 & 3 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menentukan determinan matriks B dengan cara seperti gambar dibawah ini:

Jadi determinan matriks B = det (B) = (1 . 3 . 2) + (3 . -1. 4) + (1 . 2 . 0) – (1 . 2 . 4) – (1 . -1 . 0) – (3 . 2 . 3) = 6 + (-12) + 0 – 8 – 0 – 18 = -32.

Contoh soal 3

Hitunglah determinan matriks berordo 3 x 3 $C = \begin {bmatrix}1 & 8 & 6 \\ 4 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

Det (C) = (1 . 0 . 3) + (8 . -1 . 2) + (6 . 4 . 0) – (6 . 0 . 2) – (1 . -1 . 0) – (8 . 4 . 3) = 0 + (-16) + 0 – 0 – 0 – 96 = – 112.

Contoh soal 4 (UN 2017 IPS)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}3 & -2 \\ 4 & 5 \end {bmatrix}$ dan $B = \begin {bmatrix}1 & 5 \\ 4 & 3 \end {bmatrix}$ . Determinan A x B adalah…
A. -391
B. -119
C. -41
D. 41
E. 291

Pembahasan \ penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini, hitung terlebih dahulu hasil dari A x B sebagai berikut:

$AB = \begin {bmatrix}3 & -2 \\ 4 & 5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix}1 & 5 \\ 4 & 3 \end {bmatrix}$
$AB = \begin {bmatrix}3.1+ -2.4 & 3.5+(-2).3 \\ 4.1+5.4 & 4.5+5.3 \end {bmatrix}$
$AB = \begin {bmatrix}-5 & 9 \\ 24 & 35 \end {bmatrix}$

Dari hasil tersebut diketahui a = -5, b = 9, c = 24 dan d = 35 sehingga determinan matriks AB = a.d – b.c = -5 . 35 – 9 . 24 = -175 – 216 = -391. Jadi soal ini jawabannya adalah A.

Contoh soal 5 (UN 2015 IPA)

Diketahui matriks $P = \begin {bmatrix}5 & 2 \\ 7 & 3 \end {bmatrix}$ dan $Q = \begin {bmatrix}3 & -1 \\ 6 & 1 \end {bmatrix}$ . Determinan matriks PQ adalah…
A. 225
B. 156
C. 81
D. 11
E. 9

Pembahasan / penyelesaian soal

Sama seperti nomor 4 kita hitung terlebih dahulu matriks PQ yaitu:

$PQ = \begin {bmatrix}5.3+2.6 & 5.(-1)+2.1 \\ 7.3+3.6 & 7.(-1)+3.1 \end {bmatrix}$
$PQ = \begin {bmatrix}27 & -3 \\ 39 & -4 \end {bmatrix}$

Berdasarkan matriks PQ kita ketahui a = 27, b = -3, c = 39 dan d = -4 sehingga determinan PQ = a.d – b.c = 27 . -4 – (-3) . 39 = -108 + 117 = 9. Jadi soal nomor 2 jawabannya adalah E.

Contoh soal 6 (UN 2014 IPS)

Diketahui matriks $P = \begin {bmatrix}1 & 4 \\ 2 & -1 \end {bmatrix}$ , $Q = \begin {bmatrix}5 & 3 \\ 0 & 1 \end {bmatrix}$ dan $R = \begin {bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end {bmatrix}$ . Determinan matriks (P + Q – 2R) adalah ….
A. 32
B. -12
C. 12
D. 20
E. 52

Pembahasan / penyelesaian soal

Hitung terlebih dahulu matriks P + Q yaitu:

$P + Q= \begin {bmatrix}1+5 & 4+3 \\ 2+0 & -1+1 \end {bmatrix}$
$P+Q = \begin {bmatrix}6 & 7 \\ 2 & 0 \end {bmatrix}$

Selanjutnya hitung 2R sebagai berikut:

$2R = 2 \begin {bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end {bmatrix}$
$2R = \begin {bmatrix}2 & 2 \\ 6 & 8 \end {bmatrix}$

Kemudian kita hitung (P + Q) – 2R):

$(P+Q)-2R = \begin {bmatrix}6 & 7 \\ 2 & 0 \end {bmatrix} - \begin {bmatrix}2 & 2 \\ 6 & 8 \end {bmatrix}$
$(P+Q)-2R = \begin {bmatrix}6-2 & 7-2 \\ 2-6 & 0-8 \end {bmatrix}$
$(P+Q)-2R = \begin {bmatrix}4 & 5 \\ -4 & -8 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hasil diatas kita peroleh a = 4, b = 5, c = -4 dan d = -8. Jadi determinan P + Q – 2R = a.d – b.c = 4 . (-8) – 5 . (-4) = -32 + 20 = -12. Jawaban soal nomor 3 adalah B.

Contoh soal transpose matriks

Contoh soal 1

Tentukan transpose matriks $A = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ -2 & 3 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

$A^T = \begin {bmatrix}1 & -2 \\ 2 & 3 \end {bmatrix}$

Contoh soal 2

Tentukan transpose matriks dari $A = \begin {bmatrix}-5 & -4 & -3 \\ 0 & -7 & 1 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

$A^T = \begin {bmatrix}-5 & 0 \\ -4 & -7 \\ -3 & 1 \end {bmatrix}$

Contoh soal 3

Tentukan transpose matriks dari $A = \begin {bmatrix}3 & 0 & -4 \\ 2 & 5 & 5 \\ -4 & -2 & 1 \end {bmatrix}$ .

Pembahasan / penyelesaian soal

$A^T = \begin {bmatrix}3 & 2 & -4 \\ 0 & 5 & -2 \\ -4 & 5 & 1 \end {bmatrix}$

Contoh soal 4 (UN 2019 IPA)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}15 & 3 \\ 6 & y \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}2 & x \\ 3 & 10 \end {bmatrix}$ dan $C = \begin {bmatrix}13 & 3 \\ 4 & -1 \end {bmatrix}$ . Jika A – B = C^T, nilai x + y adalah…
A. 3
B. 5
C. 7
D. 8
E. 9

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini hitung terlebih dahulu A – B:

$A - B = \begin {bmatrix}15-2 & 3-x \\ 6-3 & y-10 \end {bmatrix}$
$A - B = \begin {bmatrix}13 & 3-x \\ 3 & y-10 \end {bmatrix}$

Selanjutnya kita tentukan transpose matriks C sebagai berikut:

$C = \begin {bmatrix}13 & 3 \\ 4 & -1 \end {bmatrix}$
$C^T = \begin {bmatrix}13 & 4 \\ 3 & -1 \end {bmatrix}$

Jadi A – B = C^T sebagai berikut:

$\begin {bmatrix}13 & 3-x \\ 3 & y-10 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}13 & 4 \\ 3 & -1 \end {bmatrix}$

Berdasarkan hubungan diatas kita peroleh:

3 – x = 4 maka x = 3 – 4 = – 1
y – 10 = -1 maka y = -1 + 10 = 9

Jadi x + y = -1 + 9 = 8. Jawaban soal nomor 1 adalah D.

Contoh soal 5 (UN 2018 IPS)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}a & b \\ 0 & 1 \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}6 & 1 \\ -8 & 7 \end {bmatrix}$ , $C = \begin {bmatrix}2 & -2 \\ 1 & c \end {bmatrix}$ dan $D = \begin {bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 2 \end {bmatrix}$ . Jika 2A + B^T = CD dan B^T = transpose B, nilai a + b – c adalah…
A. -8
B. -6
C. -4
D. 6
E. 8

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu transpose matriks B yaitu:

$B^T = \begin {bmatrix}6 & -8 \\ 1 & 7 \end {bmatrix}$

Selanjutnya kita tentukan hasil 2A + B^T yaitu:

$2A + B^T = \begin {bmatrix}2a & 2b \\ 0 & 2 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}6 & -8 \\ 1 & 7 \end {bmatrix}$
$2A + B^T = \begin {bmatrix}2a+6 & 2b-8 \\ 0+1 & 2+7 \end {bmatrix}$
$A+B^T = \begin {bmatrix}2a+6 & 2b-8 \\ 1 & 9 \end {bmatrix}$

Kemudian kita tentukan matriks CD sebagai berikut:

$CD = \begin {bmatrix}2 & -2 \\ 1 & c \end {bmatrix} \begin {bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 2 \end {bmatrix}$
$CD = \begin {bmatrix}2.1+(-2).0 & 2.(-1)+(-2).2 \\ 1.1+c.0 & 1.(-1)+c.2 \end {bmatrix}$
$CD = \begin {bmatrix}2 & -6 \\ 1 & -1+2c \end {bmatrix}$

Jadi kita peroleh hubungan A + B^T = CD sebagai berikut:

$\begin {bmatrix}2a+6 & 2b-8 \\ 1 & 9 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}2 & -6 \\ 1 & -1+2c \end {bmatrix}$

Sehingga kita peroleh:

2a + 6 = 2 atau 2a = 2 – 6 = -4 maka a = -2
2b – 8 = -6 atau 2b = -6 + 8 = 2 atau b = 1
9 = -1 + 2c atau 2c = 9 + 1 = 10 maka c = 5

Jadi hasil dari a + b – c = -2 + 1 – 5 = -6. Jawaban soal nomor 2 adalah B.

Contoh soal 6 (UN 2018 IPS)

Diketahui matriks $A = \begin {bmatrix}x & 2 \\ 3 & -4 \end {bmatrix}$ , $B = \begin {bmatrix}2 & 1 \\ y & 0 \end {bmatrix}$ , $C = \begin {bmatrix}-1 & 3 \\ -2 & 1 \end {bmatrix}$ dan $D = \begin {bmatrix}-7 & 8 \\ z & -9 \end {bmatrix}$ . Jika 3A + BC = D^T ; (D^T = transpose D, nilai dari 2x + 3y -z adalah…
A. -18
B. -14
C. -12
D. -8
E. 14

Pembahasan / penyelesaian soal

Hitung hasil dari BC:

$BC = \begin {bmatrix}2.(-1)+1.(-2) & 2.3 + 1.1 \\ y.(-1) + 0.-2 & y.3 + 0.1 \end {bmatrix}$
$BC = \begin {bmatrix} -4 & 7 \\ -y & 3y \end {bmatrix}$

Kemudian hitung 3A + BC:

$3A + BC = \begin {bmatrix}3x & 6 \\ 9 & -12 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}-4 & 7 \\ -y & 3y \end {bmatrix}$
$3a + BC = \begin {bmatrix}3x - 4 & 13 \\ 9-y & 3y - 12 \end {bmatrix}$