Postingan ini menyajikan pembahasan soal UN atau Ujian Nasional pelajaran matematika SMA program IPS tahun 2019 nomor 1 – 20. Pembahasan soal UN matematika ini dapat digunakan sebagai bahan persiapan menghadapi UN tahun selanjutnya.
Soal 1 – Jika (x1, y1) merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + 5y = 12 dan x + 4y = 15, nilai dari 5x1 + 3y1 adalah…
A. 63
B. 57
C. 21
D. -27
E. -39
Pembahasan
- x + 4y = 15 atau x = 15 – 4y (subtitusi ke persamaan kedua)
- 2 (15 – 4y) + 5y = 12
- 30 – 8y + 5y = 12 atau – 3y = 12 – 30 = – 18
- y = -18 / – 3 = 6
- x = 15 – 4y = 15 – 4 . 6 = – -9
Jadi 5x1 + 3y1 = 5 . -9 + (3 . 6) = – 45 + 18 = – 27. Soal ini jawabannya D.
Soal 2 – Seorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternak adalah 150 ekor. Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya Rp 10.000,00 untuk setiap ekor kambing dan Rp 15.000,00 untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai Rp 1.850.000,00. Jika x menyatakan banyak kambing dan y menyatakan banyak sapi, model matematika yang tepat untuk permasalahan tersebut adalah…
A. 10x + 15y = 185 dan x + y = 150
B. 2x + 3y = 370 dan x + y = 150
C. 3x + 2y = 370 dan x + y = 150
D. 2x + 3y = 185 dan x + y = 150
E. x + y = 370 dan 2x + 3y = 150
Pembahasan
Model matematika yang menyatakan jumlah semua hewan x + y = 150. Model matematika yang menyatakan biaya makan hewan 10.000x + 15.000y = 1.850.000 (dibagi 5000) maka 2x + 3y = 370. Soal ini jawabannya B.
Soal 3 – Suatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut:
| Lama waktu | Potong | Jahit | Finishing |
| Model A | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
| Model B | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
| Model C | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Jumlah waktu yang tersedia dibagian pemotongan, penjahitan, dan finishing disajikan dalam tabel berikut:
| Pemotongan | 68 |
| Penjahitan | 116 |
| Finishing | 51 |
Jika banyak model pakaian yang akan diproduksi untuk model A, B, C berturut-turut x, y, dan z, persamaan matriks yang sesuai untuk masalah tersebut adalah…
Pembahasan
- Persamaan lama pemotongan A, B, C = 0,1x + 0,1y +0,3z = 68 (dikali 10) hasilnya x + y + 3z = 680.
- persamaan lama penjahitan 0,3x + 0,2y + 0,4z = 116 (dikali 10) hasilnya 3x + 2y + 4z = 1160
- Persamaan finishing 0,1x + 0,2y + 0,1z = 51 (dikali 10) hasilnya) x + 2y + z = 510
Jika diubah dalam bentuk matriks hasilnya sebagai berikut:
Soal ini jawabannya D.
Soal 4 – diketahui matriks:
Memenuhi persamaan X = A + 2B – CT, dengan CT merupakan transpose matriks C. Invers matriks X adalah…
Pembahasan
Soal ini jawabannya C.
Soal 5 – diketahui matriks:
dan CT adalah transpose matriks C. Jika 3A – B = CT maka nilai dari -3x + y + 5z adalah …
A. 8
B. 10
C. 14
D. 16
E. 20
Pembahasan
3z – 1 = 8 atau 3z = 9 maka z = 9/3 = 3
12 – z + x = 10 atau 12 – 3 + x = 10 maka x = 1
12x – 3y – 2 = 4 atau 12 . 1 – 3y – 2 = 4 maka y = 2
-3x + y + 5z = -3 . 1 + 2 + 5 . 3 = 10
Soal ini jawabannya B.
Soal 6 – daerah yang diarsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y) = 6x + 10y adalah…
A. 46 B. 40 C. 34 D. 30 E. 24
Pembahasan
Persamaan kedua garis grafik diatas sebagai berikut:
- y = 5 – x (pers 1)
- y = 2x + 2 (pers 2)
- Subtitusi pers 1 ke pers 2:
- 5 – x = 2x + 2 atau 2x + x = 5 – 2 maka x = 1
- y = 5 – x = 5 – 1 = 4
Jadi diperoleh titik potong daerah yang diarsir yaitu (0, 2) ; (5, 0) dan (1, 4).
(0,2) maka f(x,y) = 6 . 0 + 10 . 2 = 20
(5, 0) maka f(x,y) = 6 . 5 + 10 . 0 = 30
(3, 2) maka f(x,y) = 6. 1 + 10 . 4 = 46
Nilai yang terbesar adalah 46 sehingga soal ini jawabannya A.
Soal 7 – Seorang pengusaha perumahan mempunyai lahan seluas 10.000 m2 yang akan dibangun rumah tipe I dan tipe II. Rumah tipe I memerlukan tanah seluas 100 m2 dan rumah tipe II memerlukan tanah seluas 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Rumah tipe I dijual dengan harga Rp 250.000.000,00 per unit dan rumah tipe II dijual dengan harga Rp 200.000.000,00 per unit. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha perumahan tersebut adalah…
A. Rp. 25.000.000.000,00
B. Rp 26.250.000.000,00
C. 26.600.000.000,00
D. 26.670.000.000,00
E. 31.250.000.000,00
Pembahasan
Misalkan rumah tipe I = x dan rumah tipe II = y maka diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut:
- x + y ≤ 125
- 100 x + 75 y ≤ 10.000 atau 4x + 3y ≤ 400
- Fungsi objektif f(x,y) = 250.000.000 x + 200.000.000 y
Subtitusi persamaan pertama ke persamaan kedua:
- x + y = 125 atau x = 125 – y
- 4x + 3y = 400 atau 4 (125 – y) + 3y = 400
- 500 – y = 400 atau y = 500 – 400 = 100
- x = 125 – y = 125 – 100 = 25
Kita peroleh titik potong grafik (0, 125) ; (125, 0) ; (0, 400/3) ; (100, 0) dan (25 ; 100). Jika digambarkan bentuk grafik sebagai berikut:
Daerah yang diarsir mempunyai titik potong (100, 0) ; (0, 125) dan (25, 100).
(100, 0) maka f(x,y) = 250.000.000 x 100 + 200.000.000 = 25.000.000.000
(0, 125) maka f(x,y) = 250.000.000 x 0 + 200.000.000 x 125 = 25.000.000.000
(25, 100) maka f(x,y) = 250.000.000 x 25 + 200.000.000 x 100 = 26.250.000.000 Jadi penghasilan maksimum pengusaha adalah Rp 26.250.000.000. Soal ini jawabannya B.
Soal 8 – daerah hasil fungsi y = x2 – 2x – 3 untuk daerah asal {x|-1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R} adalah…
A. {y|-4 ≤ y ≤ 0, y ∈ R}
B. {y|-4 ≤ y ≤ 11, y ∈ R}
C. {y|-4 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}
D. {y|0 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}
E. {y|0 ≤ y ≤ 11, y ∈ R}
Pembahasan
Cara menjawab soal ini kita tentukan nilai minimum dan maksimum dengan cara turunkan fungsi x2 – 2x – 3 sebagai berikut:
- y’ = 0
- 2x – 2 = 0 atau 2x = 2 maka x = 2/2 = 1
- Nilai minimum fungsi y(1) = 12 – 2 . 1 – 3 = -4
- Nilai maksimum y(4) = 42 – 2 . 4 – 3 = 5
Jadi daerah hasil berada pada {y|-4 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}. Soal ini jawabannya C.
Soal 9 – Diketahui f(x) = x2 + x + 1 dan g(x) = 2x – 3. Fungsi komposisi (f o g)(x) adalah…
A. 4x2 – 14x + 7
B. 4x2 – 10x + 7
C. 4x2 – 10x + 5
D. 4x2 + 2x – 11
E. 4x2 + 2x + 7
Pembahasan
- (f o g)(x) = f(g(x)) = (2x – 3)2 + 2x – 3 + 1
- = 4x2 – 12x + 9 + 2x – 2
- = 4x2 – 10x + 7
Soal ini jawabannya B.
Soal 10 – diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x
3x – 2. Daerah asal fungsi komposisi (g o f)(x) adalah…
Pembahasan
Syarat daerah asal penyebut 6x + 1 ≠ 0 atau x ≠ 1/6. Jadi soal ini jawabannya A.
Soal 11 – pembuatan pakaian pada suatu industri dilakukan melalui dua tahap yaitu tahap pemotongan kain menjadi pola dan dilanjutkan dengan tahap penjahitan pola menjadi pakaian. Banyak unit yang terbentuk tergantung pada lebar kain yang tersedia dengan mengikuti fungsi f(x) = 3/4 x + 5, sedangkan banyak pakaian yang diproduksi bergantung pada banyak pola yang dihasilkan dengan mengikuti fungsi g(x) = 1/2 x + 6. Jika tersedia 100 m2 kain untuk membuat pola banyak pakaian yang dihasilkan adalah…
A. 38 pakaian
B. 41 pakaian
C. 42 pakaian
D. 46 pakaian
E. 47 pakaian
Pembahasan
Cara menjawab soal ini sebagai berikut:
- (g o f)(100) = g(f(100))
- (g o f)(100) = g(3/4 . 100 + 5) = g(80)
- g(80) = 1/2 . 80 + 6 = 46
Soal ini jawabannya D.
Soal 12 – Diketahui f(x) = 9x + 17
x + 2, x ≠ -2 dan f-1(x) adalah invers dari f(x). Nilai dari f-1(10) adalah…
A. -16
B. -3
C. -2
D. 2
E. 12
Pembahasan
Pada soal ini diketahui:
- a = 9
- b = 17
- c = 1
- d = 2
Soal ini jawabannya B.
Soal 13 – persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar dibawah ini adalah…
A. y = 2x2 – x – 6
B. y = 2x2 + 2x – 6
C. y = x2 – 2x – 6
D. y = x2 + 2x – 6
E. y = x2 – 4x – 6
Pembahasan
Persamaan fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
(0, -6) maka -6 = a . 02 + b . 0 + c atau c = -6
(2, -6) maka -6 = a . 22 + b . 2 – 6 atau 4a + 2b = 0 atau 2a = -b … (1)
(1, -7) maka -7 = a . 12 + b . 1 – 6 atau b = -a – 1 (2)
Subtitusi (2) ke (1): 2a = -(-a – 1) atau 2a = a + 1 maka a = 1
b = -a – 1 = -1 – 1 = -2
Dengan demikia a = 1, b = – 2 dan c = -6 sehingga fungsi kuadrat y = x2 – 2x – 6. Soal ini jawabannya C.
Soal 14 – Suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 33, sedangkan suku ke-7 adalah 54. Suku ke-15 barisan tersebut adalah…
A. 162
B. 118
C. 110
D. 92
E. 70
Pembahasan
b = 54 – 33
7 – 4 = 21
3 = 7
U15 – U7 = b (15 – 7)
U15 = b (15 – 7) + U7
U15 = 7 . 8 + 54 = 56 + 54 = 110.
Soal ini jawabannya C.
Soal 15 – Suku kelima dari barisan aritmetika adalah 28 dan suku kesepuluhnya adalah 53. Jumlah 18 suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah…
A. 816
B. 819
C. 826
D. 909
E. 919
Pembahasan
b = 53 – 28
10 – 5 = 25
5 = 5
Selanjutnya kita menentukan suku pertama atau U1 = a:
U5 – U1 = b (5 – 1)
U1 = U5 – 4b = 28 – 4 . 5 = 8
Sn = n/2 (2a + (n – 1) b = 18/2 (2 . 8 + (18 – 1) 5 = 909
Soal ini jawabannya D.
Soal 16 – jumlah tak hingga dari deret 4 + 3 + 9
4 + 27
16 + 81
64 + … adalah…
A. 13/3
B. 16/3
C. 13
D. 16
E. 65/4
Pembahasan
Pada soal ini diketahui:
- a = 4
- r = 3/4
Soal ini jawabannya D.
Soal 17 – Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 96. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah…
A. Un = 6 . 2n + 1
B. Un = 6 . 2n
C. Un = 3 . 2n
D. Un = 3 . 2n – 1
E. Un = 2n – 1
Pembahasan
Soal ini jawabannya D.
Soal 18 – Modal sebesar Rp 2.000.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga 2% pertahun. Besar modal pada akhir tahun kedua adalah…
A. Rp 2.040.000,00
B. Rp 2.040.400,00
C. Rp 2.080.000,00
D. Rp 2.080.800,00
E. Rp 2.122.400,00
Pembahasan
- Mn = Mo (1 + B)n
- M2 = 2.000.000 (1 + 2%)2
- M2 = 2.000.000 (1 + 0,02)2 = Rp 2.080.800,00
Soal ini jawabannya D.
A. 1/2 B. 5/6 C. 6/7 C. 7/6 E. 6/5
Pembahasan
Soal ini jawabannya E.
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
Pembahasan
Bagi semua variabel dengan x maka diperoleh:
Soal ini jawabannya E.