Postingan ini menyajikan pembahasan contoh soal panjang garis singgung lingkaran. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya disatu titik dan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik singgung lingkaran tersebut. Panjang garis singgung lingkaran digambarkan sebagai berikut.
Berdasarkan gambar diatas, panjang garis singgung lingkaran AB ditentukan menggunakan rumus Pythagoras dibawah ini:
(AB)2 = (OA)2 – (OB)2
j2 = d2 – r2
Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa pembahasan contoh soal panjang garis singgung lingkaran.
Contoh soal 1
Sebuah lingkaran dengan pusat dititik O. AP adalah garis singgung dengan panjang 12 cm dan PB = 8 cm. Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah…
Pembahasan
Jari-jari lingkaran pada soal ini dinyatakan oleh AO.
AP2 = OP2 – AO2
(AP)2 = (OB + BP)2 – (OA)2
OB = OA = jari-jari lingkaraan sehingga rumus diatas menjadi:
(AP)2 = (OA + BP)2 – (OA)2
(12 cm)2 = (OA + 8 cm)2 – (OA)2
144 cm2 = (OA)2 + 16 cm OA + 64 cm2 – (OA)2
16 cm OA = 144 – 64 = 80 cm2
OA = 80 cm2 / 16 cm= 5 cm
Jadi jari-jari lingkaran tersebut sebesar 8 cm.
Contoh soal 2
Perhatikan gambar disamping ini. Jika AB = 25 cm dan BD = 18 cm, hitunglah panjang AC dan panjang BC.
Pembahasan
Panjang AB = AD + BD
25 cm = AD + 18 cm
AD = 25 cm – 18 cm = 7 cm
AC = AD = 7 cm (jari-jari lingkaran)
BC adalah panjang garis singgung lingkaran sehingga dihitung dengan rumus dibawah ini:
BC2 = AB2 – AC2
BC2 = (25 cm)2 – (7 cm)2
BC2 = 625 cm2 – 49 cm2 = 576 cm2
BC = √ 576 cm = 24 cm
Contoh soal 3
Panjang AB = 12 cm dan BC = 6 cm, panjang jari-jari lingkaran disamping adalah…
Pembahasan
BC2 = AB2 – AC2
(6 cm)2 = (12 cm)2 – AC2
AC2 = 144 cm2 – 36 cm2 = 108 cm2
AC = √ 108 cm = 6 √ 3 cm
Contoh soal 4
Jari-jari suatu lingkaran 16 cm. Jarak suatu titik ke titik pusat lingkaran adalah 34 cm maka panjang garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik tersebut adalah…
Pembahasan
j2 = d2 – r2
j2 = (34 cm)2 – (16 cm)2
j2 = 1156 cm2 – 256 cm2 = 900 cm2
j = √ 900 cm = 30 cm
Contoh soal 5
Perhatikan gambar disamping. Jika jari-jari lingkaran = 15 cm, PA = 20 cm maka AB dan PE adalah…
Pembahasan
AP2 = OP2 – OB2
(20 cm)2 = OP2 – (15 cm)2
OP2 = 400 cm2 + 225 cm2 = 625 cm2
OP = √ 625 cm = 25 cm
Untuk menentukan panjang AB kita gunakan rumus luas layang-layang dan luas segitiga siku-siku.
Luas layang-layang APBO = 2 x luas segitiga APO
1/2 . (OP . AB) = 2 . 1/2 . OA . AP
1/2 . 25 cm . AB = 15 cm . 20 cm
12,5 cm AB = 300 cm2
AB = 300 cm2 / 12,5 cm = 24 cm
Menentukan panjang PE:
OP = OE + PE
25 cm = 15 cm + PE
PE = 25 cm – 15 cm = 10 cm.
Jadi panjang AB = 24 cm dan panjang PE = 10 cm.
Contoh soal 6
Perhatikan gambar disamping. Luas layang-layang OBAC = 525 cm2. Jika panjang BC = 30 cm dan OB = 21 cm maka panjang BA adalah…
Pembahasan
Luas layang-layang OBAC = 1/2 .OA . BC
525 cm2 = 1/2 . OA . 30 cm
525 cm2 = 15 cm . OA
OA = 525 cm2 / 15 cm = 35 cm
Cara menghitung OA menggunakan rumus pythagoras:
OA2 = BA2 + OB2
(35 cm)2 = BA2 + (21 cm)2
BA2 = 1225 cm2 – 441 cm2 = 784 cm2
BA = √ 784 cm = 28 cm
Contoh soal 7
Pada gambar disamping, panjang jari-jari lingkaran = 5 cm dan panjang OP = 13 cm. Luas layang-layang PQOR adalah…
Pembahasan
PR2 = OP2 – OR2
PR2 = 132 – 252 = 144 cm2
PR = √ 144 cm = 12 cm
Luas segitiga POR:
1/2 . OR . PR
1/2 . 5 cm . 12 cm = 30 cm2
Luas PQOR = 2 . luas segitiga POR
Luas PQOR = 2 . 30 cm2 = 60 cm2.