Contoh soal notasi sigma dan pembahasannya

Postingan ini membahas contoh soal notasi sigma dan pembahasannya. Matematika sering disebut sebagai bahasa lambang atau bahasa simbol. Hal ini disebabkan didalam matematika banyak digunakan lambang-lambang atau suatu simbol untuk menyatakan pernyataan yang lebih singkat dan lebih jelas. Diantara penggunaan lambang ini adalah bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki pola tertentu yaitu notasi sigma.

Notasi sigma yang dilambangkan dengan ∑ adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. Indeks penjumlahan tersebut dapat dipilih sembarang huruf kecil. Daerah penjumlahan dapat berhingga atau terbatas dan dapat pula tak terhingga atau tak terbatas.

Sifat-sifat notasi sigma sebagai berikut:

Contoh soal notasi sigma

Contoh soal 1

Nyatakan bentuk penjumlahan 4 + 8 + 12 + 16 + … + 1.000 dengan menggunakan notasi sigma.

Pembahasan

4 + 8 + 12 + 16 + … + 1.000 = (4 . 1) + (4 . 2) + (4 . 3) + (4 . 4) + … + (4 . 250)
$\sum_{k = 1}^{250} 4k$

Contoh soal 2

Nyatakan bentuk penjumlahan 1 x 3 + 4 x 6 + 9 x 11 + … + 100 x 102 dengan menggunakan notasi sigma.

Pembahasan

1 x 3 + 4 x 6 + 9 x 11 + … + 100 x 102 = nⁿ x (nⁿ + 2)
$\sum_{k = 1}^{10} (k^k (k^k + 2))$

Contoh soal 3

Tentukan bentuk notasi sigma dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + …

Pembahasan

2 + 4 + 6 + 8 + … = (2 x 1) + (2 x 2) + (2 x 3) + (2 x 4) + … + (2 x n)
$\sum_{k = 1}^{n} 2n$

Contoh soal 4

Tentukan bentuk notasi sigma untuk deret 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + …

Pembahasan

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … = (1 – 1) + (2 – 1) + (3 – 1) + (4 – 1) + (5 – 1) + … + (n – 1)
$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1)$

Contoh soal 5

Tentukan bentuk notasi sigma untuk deret 1 + 8 + 27 + 64 + …

Pembahasan

1 + 8 + 27 + 64 + … = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + n³
$\sum_{k = 1}^{n} k^3$

Contoh soal 6

Tentukan bentuk notasi sigma dari deret 1 + $\frac {2} {3}$ + $\frac {3} {5}$ + $\frac {4} {7}$ + $\frac {5} {9}$ + …

Pembahasan

1 + $\frac {2} {3}$ + $\frac {3} {5}$ + $\frac {4} {7}$ + $\frac {5} {9}$ + … + $\frac {n} {2n - 1}$
$\sum_{k = 1}^{n} \frac {k} {2k - 1}$

Contoh soal 7

Tentukan bentuk notasi sigma dari deret -1 + 1/2 – 1/3 + 1/4 – 1/5 + …

Pembahasan

-1 + 1/2 – 1/3 + 1/4 – 1/5 + … + $\frac {1} {n} (-1)^n$
$\sum_{k = 1}^{n} \frac {1} {n} (-1)^n$

Contoh soal 8

Nyatakan bentuk notasi sigma $\sum_{n = 2}^{6} (2n + 1)$ dalam bentuk deret.

Pembahasan

Cara menjawab soal ini ganti n = 2, 3, 4, 5, 6 sehingga hasilnya sebagai berikut:

$\sum_{n = 2}^{6} (2n + 1)$ = (2 . 2 + 1) + (2 . 3 + 1) + (2 . 4 + 1) + (2 . 5 + 1) + (2 . 6 + 1)
5 + 7 + 9 + 11 + 12

Contoh soal 9

Nyatakan bentuk notasi sigma $\sum_{n = 1}^{5} (n^2 - 1)$ dalam bentuk deret.

Pembahasan

$\sum_{n = 1}^{5} (n^2 - 1)$ = (1² – 1) + (2² – 1) + (3² – 1) + (4² – 1) + (5² – 1)
0 + 3 + 8 + 15 + 24

Contoh soal 10

Nyatakan bentuk notasi sigma $\sum_{n = 1}^{6} (1 - 4n)$ dalam bentuk deret.

Pembahasan

$\sum_{n = 1}^{6} (1 - 4n)$ = (1 – 4 . 1) + (1 – 4 . 2) + (1 – 4 . 3) + (1 – 4 . 4) + (1 – 4 . 5) + (1 – 4 . 6)
-3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 23

Contoh soal 11

Tentukan bentuk notasi sigma dari penjumlahan xⁿ + x^{n – 1} y + x^{n – 2} y² + … + x y^{n – 1} + yⁿ

Pembahasan

xⁿ + x^{n – 1} y + x^{n – 2} y² + … + x y^{n – 1} + yⁿ = $\sum_{k = 0}^{n} x^{n - k} y^k$

Contoh soal 12

Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan pernyataan berikut $\sum_{k = 1}^{n} (4k + 1)^2 = 16 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 8 \sum_{k = 1}^{n} k + n$

Pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

$\sum_{k = a}^{b} (U_k + V_k)^2 = \sum_{k = a}^{b} U_k^2 + 2 \sum_{k = a}^{b} U_k V_k + \sum_{k = a}^{b} V_k^2$
$\sum_{k = 1}^{n} (4k + 1)^2 = \sum_{k = 1}^{n} (4k)^2 + 2 \sum_{k = 1}^{n} 4k . 1 + \sum_{k = 1}^{n} 1^2$
$\sum_{k = 1}^{n} (4k + 1)^2 = 16 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 8 \sum_{k = 1}^{n} k + n$

Terbukti

Contoh soal notasi sigma pilihan ganda

Contoh soal 1

Diketahui barisan bilangan 5, 6, 9, 14, 21, … . Jumlah seluruh barisan itu dapat dinyatakan dengan …
A. $\sum_{k = 1}^{n} (k + 5)$
B. $\sum_{k = 1}^{n} (2k + 5)$
C. $\sum_{k = 0}^{n} (k^{2} + 5)$
D. $\sum_{k = 1}^{n} (k + 5)^2$
E. $\sum_{k = 1}^{n} (k^{2} + 5)$

Pembahasan

5, 6, 9, 14, 21, … = (0 + 5), (1 + 5), (4 + 5), (9 + 5), (16 + 5), …
= (0² + 5), (1² + 5), (2² + 5), (3² + 5), (4² + 5), … (n² + 5)
5, 6, 9, 14, 21, … = $\sum_{k = 0}^{n} (k^{2} + 5)$

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Penjumlahan 4 + 7 + 10 + … + 25 dapat dinyatakan dalam notasi sigma dengan …
A. $\sum_{i = 0}^{7} (3i + 1)$
B. $\sum_{i = 0}^{8} (3i + 1)$
C. $\sum_{i = 0}^{7} (5i + 1)$
D. $\sum_{i = 1}^{8} (3i + 1)$
E. $\sum_{i = 0}^{7} (4 - 3i)$

Pembahasan

4 + 7 + 10 + … + 25 = (3 x 1 + 1) + (3 x 2 + 1) + (3 x 3 + 1) + … + (3 x 8 + 1)
4 + 7 + 10 + … + 25 = $\sum_{i = 1}^{8} (3i + 1)$

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 3

Notasi sigma untuk jumlah 3 + 9 + 27 + … + 729 adalah … …
A. $\sum_{k = 1}^{6} 3^{k - 1}$
B. $3\sum_{k = 1}^{6} k$
C. $\sum_{k = 2}^{7} 3^{k - 1}$
D. $\sum_{k = 2}^{6} 3^{k}$
E. $\sum_{k = 3}^{6} 3^{k - 1}$

Pembahasan

3 + 9 + 27 + … + 729 = 3¹ + 3² + 3³ + … + 3⁶
3 + 9 + 27 + … + 729 = $\sum_{k = 2}^{7} 3^{k - 1}$

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 4

$\sum_{k = 1}^{4} (2k + 1)^2$ mempunyai nilai sama dengan …
A. $2\sum_{k = 1}^{n} (k^{2} + n)$
B. $\sum_{k = 1}^{n} (4k^{2} + 4k + 1)$
C. $4 \sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 4 \sum_{k = 1}^{4} (k + 1)$
D. $4\sum_{k = 1}^{4} (k^{2} + n)$
E. $2\sum_{k = 1}^{4} (k^{2} + 1)$

Pembahasan

$\sum_{k = 1}^{4} (2k + 1)^{2} = \sum_{k = 1}^{4} (2k + 1) (2k + 1) = \sum_{k = 1}^{4} (4k^{2} + 4k + 1)$
$= \sum_{k = 1}^{4} 4k^{2} + \sum_{k = 1}^{4} 4k + \sum_{k = 1}^{4} 1$
$= 4\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + \sum_{k = 1}^{4} 4k + 4$
$= 4\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + \sum_{k = 1}^{4} 4(k + 1)$
$= 4\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 4\sum_{k = 1}^{4} (k + 1)$

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 5

Jika diketahui $\sum_{i = 1}^{n} i = x$ dan $\sum_{j = 1}^{n} k = y$ maka $\sum_{i = 1}^{n} (2i - k)$ = …
A. 2x – y
B. 2x – ny
C. x – ny
D. x – y
E. 2nx – ny

Pembahasan

$\sum_{i = 1}^{n} (2i - k) = \sum_{i = 1}^{n} 2i - \sum_{j = 1}^{n} k$
$= 2\sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{j = 1}^{n} k$ = 2x – y

Soal ini jawabannya A.