Contoh soal persamaan garis singgung dan penyelesaiannya + pembahasan

Pada postingan ini kita membahas contoh soal persamaan garis singgung yang disertai penyelesaiannya + pembahasan. Lalu apa itu garis singgung ?. Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah garis yang melalui (c, f(c)) dengan kemiringan sama dengan f'(c). Rumus persamaan garis singgung pada kurva di titik (x₁, y₁) dengan gradien m dimana m = f'(c) sebagai berikut.

Jika antara kurva (k) dan garis (g) saling sejajar maka gradiennya sama atau m_k = m_g. Sedangkan jika antara kurva dan garis saling tegak lurus maka m_k = – [latex]\frac {1} {m_g}[/latex]. Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal garis singgung dan penyelesaiannya + pembahasan.

Contoh soal persamaan garis singgung

Contoh soal 1

Diketahui persamaan kurva y = 3x² + 2x + 4. Persamaan garis singgung kurva di titik (2, 17) adalah…
A. y = 12x
B. y = 12x – 7
C. y = 14x – 11
D. y = 17x – 2
E. y = 17x – 7

Penyelesaian soal / pembahasan

Turunkan terlebih dahulu y = 3x² + 2x + 4 diperoleh y’ = 6x + 2. Selanjutnya hitung gradien m dengan cara subtitusi x = 2 ke y’ sehingga diperoleh m = y’ = 6 . 2 + 2 = 14. Jadi persamaan garis singgung:

y – y₁ = m (x – x₁)
y – 17 = 14 (x – 2)
y – 17 = 14x – 28
y = 14x – 28 + 17 = 14x – 11.

Jadi soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Persamaan garis singgung kurva y = 3x² – 4x + 1 di titik (1, -2) adalah…
A. x – y + 3 = 0
B. x + y + 1 = 0
C. x – y – 3 = 0
D. x + y – 1 = 0
E. 2x – y – 4 = 0

Penyelesaian soal

Turunkan y = 3x² – 4x + 1 dan hasilnya y’ = 6x – 4. Selanjutnya hitung gradien m dengan cara subtitusi x = 1 sehingga diperoleh m = y’ = 6x – 4 = 6 . 1 – 4 = 2. Maka persamaan garis singgung sebagai berikut.

y – y₁ = m (x – x₁)
y – (-2) = 2 (x – 1)
y + 2 = 2x – 2
y – 2x + 2 + 2 = 0
y – 2x + 4 = 0
2x – y – 4 = 0

Jadi soal ini jawabannya E.

Contoh soal 3

Persamaan garis singgung kurva y = x² – 4x dititik yang absisnya 1 adalah…
A. x – y – 2 = 0
B. x + y + 2 = 0
C. 2x + y + 1 = 0
D. x + 2y + 1 = 0
E. 2x – 2y + 1 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Absis = x = x₁ = 1. Selanjutnya hitung y₁ dengan cara subtitusi x = 1 ke persamaan y sehingga didapat y₁ = y = x² – 4x = 1² – 4 . 1 = -3. Jadi (x₁, y₁) = (1, -3).

Turunkan y = x² – 4x dan diperoleh hasil y’ = 2x – 4. Kemudian tentukan gradien (m) dengan cara subtitusi x = 1 ke y’ = 2x – 4 = 2 . 1 – 4 = -2. Maka persamaan garis singgung sebagai berikut.

y – y₁ = m (x – x₁)
y – (-3) = -2 (x – 1)
y + 3 = -2x + 2
y + 2x + 3 – 2 = 0
2x + y + 1 = 0

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 4

Persamaan garis singgung kurva y = x² + x – 2 pada titik berordinat 4 adalah…
A. y = -5x – 11
B. y = 5x – 6
C. y = -5x + 19
D. y = -5x – 11 atau y = 5x – 6
E. y = 5x – 6 atau y = -5x + 19

Penyelesaian soal / pembahasan

Berordinat 4 = y₁ = 4. Kemudian hitung x₁ dengan cara subtitusi y = 4 ke persamaan y = x² + x – 2 dan diperoleh

4 = x² + x – 2
x² + x – 2 – 4 = 0
x² + x – 6 = 0
(x + 3) (x – 2) = 0
x = -3 atau x = 2

Jadi titik yang dilalui garis yaitu (x₁, y₁) = (-3, 4) atau (2, 4). Dengan demikian terdapat 2 persamaan garis singgung.

Turunkan y = x² + x – 2 dan diperoleh y’ = 2x + 1. Selanjutnya hitung gradien (m):

Gradien garis pertama (x = -3) m = 2 . -3 + 1 = -5.
Gradien garis kedua (x = 2) m = 2 . 2 + 1 = 5

Persamaan garis singgung pertama (-3, 4) dan m = -5 sebagai berikut.

y – y₁ = m (x – x₁)
y – 4 = -5 (x – (-3))
y – 4 = -5x – 15
y = -5x – 15 + 4
y = -5x – 11

Persamaan garis singgung kedua (2, 4) dan m = 5 sebagai berikut.

y – y₁ = m (x – x₁)
y – 4 = 5 (x – 2)
y – 4 = 5x – 10
y = 5x – 10 + 4
y = 5x – 6

Jadi persamaan garis singgung y = -5x – 11 atau y = 5x – 6. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 5

Persamaan garis singgung kurva y = x² – 2x + 1 yang sejajar dengan garis y = 2x + 7 adalah…
A. y = 2x – 2
B. y = 2x – 2
C. y = 2x – 3
D. y = -2x – 1
E. y = -2x – 2

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini turunkan kedua persamaan y:

kurva y = x² – 2x + 1 turunannya y’ = 2x – 2
garis y turunannya y’ = 2 atau gradien m_g = 2.

Karena sejajar berarti gradien kurva = gradien garis atau m_k = m_g = 2. Selanjutnya kita tentukan titik singgung dengan cara subtitusi m_k = 2 ke turunan kurva sehingga diperoleh:

y’ = 2x – 2
2 = 2x – 2
2x = 2 + 2 = 4
x = 4/2 = 2.
y = x² – 2x + 1 = 2² – 2 . 2 + 1 = 1.

Jadi titik singgung (2 , 1). Dengan demikian persamaan garis singgung:

y – y₁ = m (x – x₁)
y – 1 = 2 (x – 2)
y – 1 = 2x – 4
y = 2x – 4 + 1 = 2x – 3

Soal ini jawbannya C.

Contoh soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 2x² + x + 1 yang tegak lurus garis x + 5y + 3 = 0 adalah…
A. y = 5x – 1
B. y = 5x
C. y = 5x + 1
D. y = – [latex]\frac {1} {5}[/latex]x + 4[latex]\frac {1} {5}[/latex]
E. y = – [latex]\frac {1} {5}[/latex]x – 4[latex]\frac {1} {5}[/latex]

Penyelesaian soal / pembahasan

Langkah-langkah menjawab soal ini sama seperti soal nomor 5 yaitu:

y = 2x² + x + 1 maka y’ = 4x + 1
x + 5y + 3 atau y = – [latex]\frac {1} {5}[/latex]x – [latex]\frac {3} {5}[/latex] sehingga y’ = m_g = – [latex]\frac {1} {5}[/latex].
m_k = – [latex]\frac {1} {m_g}[/latex]= – [latex]\frac {1} {-1/5}[/latex]= 5.

Subtitusi nilai m_k = 5 ke turunan y’ kurva sehingga diperoleh:

y’ = 4x + 1
5 = 4x + 1
4x = 4 atau x = 1
y = 2x² + x + 1 = 2 (1)² + 1 + 1 = 4.

Titik singgung (x₁, y₁) = (1 , 4) sehingga persamaan garis singgung:

y – y₁ = m (x – x₁)
y – 4 = 5 (x – 1)
y – 4 = 5x – 5
y = 5x – 5 + 4
y = 5x – 1

Jadi soal ini jawabannya A.

Contoh soal 7

Persamaan garis singgung kurva y = x² – 4 yang tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah…
A. 2x + y + 5 = 0
B. x + 2y + 5 = 0
C. x – 2y – 5 = 0
D. x + y + 2 = 0
E. 2x – y – 5 = 0

Penyelesaian soal

Turunkan kurva dan garis y sebagai berikut.

y = x² – 4 maka y’ = 2x
x – 2y + 4 = 0 atau y = 1/2x + 2 maka y’ = 1/2 atau m_g = 1/2
m_k = – [latex]\frac {1} {m_g}[/latex] = – [latex]\frac {1} {1/2}[/latex] = -2.

Subtitusi m_k ke y’ (kurva) :

y’ = 2x
-2 = 2x
x = -2/2 = -1
y = x² – 4 = (-1)² – 4 = -3

(x1, y1) = (-1, -3) sehingga persaman garis singgungnya sebagai berikut.

y – y₁ = m (x – x₁)
y – (-3) = -2 (x – (-1))
y + 3 = -2x – 2
y + 3 + 2x + 2 = 0
2x + y + 5 = 0

Jadi soal ini jawabannya A.