Penyelesaian contoh soal nilai stasioner & nilai minimum & nilai maksimum

Pada artikel ini, kita akan membahas penyelesaian contoh soal nilai stasioner, nilai minimum dan nilai maksimum + pembahasan dan jawaban. Jika suatu fungsi f(x) mempunyai turunan f'(x₀) = 0 maka nilai f(x₀) disebut sebagai nilai stasioner, sedangkan (x₀, f'(x₀) disebut titik stasioner. Titik stasioner dapat berupa titik maksimum, titik minimum atau titik belok. Titik minimum diawali dari grafik turun kemudian naik. Sedangkan titik maksimum diawali dari grafik naik kemudian turun. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.

Jika f'(c) = 0, maka f(c) adalah nilai stasioner f pada c. Nilai stasioner pada grafik f dapat bernilai balik maksimum, minimum, atau titik belok horizontal. Jenis nilai stasioner ini dapat diidentifikasi dengan melihat tanda f ‘(x) di sekitar x = c, seperti.

Jika f(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif setelah melalui nol, maka f(c)merupakan nilai balik maksimum dari f(x) sedangkan titik (c, f(c)) merupakan titik balik maksimum dari f(x) (lihat Gambar 3.5 (a))..
Jika f(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif setelah melalui nol, maka f(c) merupakan nilai balik minimum dari f(x) sedangkan (c, f(c)) merupakan titik balik minimum dari f(x) (lihat Gambar 3.5 (b)).

Contoh soal nilai stasioner

Contoh soal 1

Nilai stasioner dari f(x) = x² – 4x adalah …
A. -4
B. -2
C. 0
D. 2
E. 4

Penyelesaian soal / pembahasan

Nilai stasioner diperoleh pada f'(x) = 0:

f'(x) = 0
2x – 4 = 0
x = 4/2 = 2
Nilai stasioner f(x) adalah f(2) = 2² – 4 . 2 = 4 – 8 = -4

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 2

Nilai stasioner dari fungsi f(x) = x³ – x² – 8x diperoleh pada …
A. x = 2 dan x = -4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = -2
D. x = 2/3 dan x =-4
E. x = 4 dan x = -2/3

Penyelesaian soal / pembahasan

Nilai stasioner diperoleh pada f'(x) = 0.

f'(x) = 0
3x² – 2x – 8 = 0
(3x + 4) (x – 2) = 0
x = -3/4 dan x = 2

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 3

Titik-titik stasioner dari kurva y = x³ – 3x² – 9x + 10 adalah …
A. (-1, 15) dan (3, -17)
B. (-1, 15) dan (-3, -17)
C. (1, -1) dan (-3, -17)
D. (1, -1) dan (3, -17)
E. (3, -17) dan (-2, 8)

Penyelesaian soal / pembahasan

Nilai stasioner diperoleh pada y’ = 0.

y’ = 0
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x + 1) (x – 3) = 0
x = – 1 dan x = 3
Untuk x = -1 diperoleh nilai stasioner f(-1) = (-1)³ – 3 (-1)² – 9 (-1) + 10 = 15
Untuk x = 3 diperoleh nilai stasioner f(3) = 3³ – 3 . 3² – 9 . 3 + 10 = – 17

Jadi titik stasioner (-1, 15) dan (3, -17). Soal ini jawabannya A.

Contoh soal nilai minimum

Contoh soal 1

Fungsi f(x) = 2x² – 16x mempunyai titik …
A. minimum (0, 0)
B. minimum (-4, 96)
C. minimum (4, -32)
D. maksimum (-4, 96)
E. maksimum (4, -32)

Penyelesaian soal / pembahasan

f'(x) = 0
4x – 16 = 0
x = 4

Selanjutnya membuat garis bilangan dengan cara masukkan satu angka yang lebih kecil dari 4 (misal 3) ke f'(x) = 4 (3 – 4) = -4. Hasilnya negatif sehingga garis bilangan awalnya turun (-) kemudian naik (+) dan titik yang dihasilkan adalah titik minimum.

Nilai minimum f(x) = f(4) = 2 . 4² – 16 . 4 = 32 – 64 = -32. Jadi diperoleh titik minimum (4, -32). Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Jika f(x) = x³ – 12x maka titik minimum (lokal) f(x) adalah …
A. (2, -8)
B. (2, -16)
C. (-2, -8)
D. (-2, 8)
E. (0, 0)

Penyelesaian soal / pembahasan

f'(x) = 0
3x² – 12 = 0
3 (x² – 4) = 0
3 (x + 2) (x – 2) = 0
x = – 2, x = 2

Selanjutnya buat garis bilangan dengan cara masukkan angka yang lebih kecil dari -2 (misalkan -3) ke f'(x) = 3 . (-3)² – 12 = +15. Hasilnya positif sehingga garis bilangan awalnya naik kemudian turun seperti gambar dibawah ini.

Nilai minimum pada x = 2 dengan nilai minimum f(2) = 2³ – 12 . 2 = 8 – 24 = – 16. Jadi titik minimum (lokal) f(x) adalah (2, -16). Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Pada interval -4 ≤ x ≤ 4 nilai minimum dari fungsi y = 1/3 x³ + 1/2 x² – 6x sama dengan …
A. 13 $\frac {1} {2}$
B. 8 $\frac {1} {3}$
C. 7 $\frac {1} {3}$
D. -8 $\frac {1} {3}$
E. -7 $\frac {1} {3}$

Penyelesaian soal / pembahasan

y’ = 0
x² + x – 6 = 0
(x + 3) (x – 2) = 0
x = -3, x = 2

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -3 (misal -4) ke y’ = (-4)² + (-4) – 6 = +6. Hasilnya positif sehingga garis bilangan awalnya positif kemudian negatif lalu positif.

Jadi nilai minimum y kemungkinan berada pada x = -4 dan x = 2.

Untuk x = -4 diperoleh nilai minimum y(-4) = 1/3 (-4)³ + 1/2 (-4)² – 6 . -4 = $\frac {32} {3}$
Untuk x = 2 dipeorleh nilai minimum y(2) = 1/3 (2)³ + 1/2 (2)² – 6 . 2 = – $\frac {22} {3}$ = -7 $\frac {1} {3}$ .

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 4

Suatu Industri rumahtangga memproduksi barang selama x hari dengan biaya produksi setiap harinya (4x + $\frac {100} {x}$ + 40) juta rupiah. Biaya minimum produksi industri rumahtangga dalam ribu rupiah adalah ….
A. Rp75.000.000,00
B. Rp80.000.000,00
C. Rp90.000.000,00
D. Rp120.000.000,00
E. Rp145.000.000,00

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan soal diatas, fungsi biaya proyek f(x) =(4x + $\frac {100} {x}$ + 40) = 4x + 100x^-1 + 40.

f'(x) = 0
4 – 100x^-2 = 0
4 – $\frac {100} {x^2}$ 0
x² = $\frac {100} {4}$ = 25
x = ±5.

Jadi biaya minimum f(5) = (4 . 5 + $\frac {100} {5}$ + 40) juta rupiah = 80 juta rupiah. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal nilai maksimum

Contoh soal 1

Nilai maksimum dari fungsi y = x³ – 27x + 10 adalah …
A. 64
B. 54
C. 44
D. -34
E. -44

Penyelesaian soal / pembahasan

y’ = 0
3x² – 27 = 0
3 (x² – 9) = 0
3 (x + 3) (x – 3) = 0
x = -3, x = 3

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -3 (misal -4) ke y’ = 3 (-4)² – 27 = + 21. Hasilnya positif sehingga garis bilangan (positif – negatif – positif).

Nilai maksimum pada x = -3 dengan nilai f(-3) = (-3)³ – 27 . -3 + 10 = 64. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 2

Fungsi y = (x – 3)(x² – 9) mempunyai nilai maksimum (lokal) sama dengan …
A. 0
B. 16
C. 32
E. 64
E. 128

Penyelesaian soal

Misalkan U = x – 3 maka U’ = 1 dan V = x² – 9 maka V’ = 2x. Diperoleh turunan y’ = U’. V + V’ . U = (x² – 9) + 2x(x – 3) = x² – 9 + 2x² – 6x = 3x² – 6x – 9 = 3 (x² – 2x – 3) = 3 (x – 3)(x + 1).

y’ = 0
3 (x – 3) (x + 1) = 0
x = 3, x = -1.

Masukkan satu angka yang lebih kecil dari -1 (misalkan -2) ke y’ maka y’ = 3((-2)² – 2 (-2) – 3) = +15. Hasilnya positif sehingga garis bilangan diawali naik (+) kemudian turun (-) lalu naik (+).

Jadi nilai maksimum lokal y terjadi pada x = -1 dengan nilai y(1) = (-1 – 3)((-1)² – 9) = (-4) (-8) = 32. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 3

Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ – 3x² – 24x + 1 pada interval -3 ≤ x ≤ 3 adalah …
A. 30
B. 29
C. 28
D. 27
E. 26

Pembahasan / penyelesaian soal

f'(x) = 0.
3x² – 6x – 24 = 0
3 (x² – 2x – 8) = 0
3 (x – 4) (x + 2) = 0
x = 4, x = -2.

Jadi nilai maksimum berada pada x = – 2 dengan nilai f(-2) = (-2)³ – 3 (-2)² – 24 . -2 + 1 = 29. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 4

Titik maksimum lokal dari fungsi y = 1/3x³ – 9x adalah …
A. (3, -18)
B. (-3, -18)
C. (3, 18)
D. (-3, 18)
E. (-3, 36)

Penyelesaian soal / pembahasan

y’ = 0
x² – 9 = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x = -3, x = 3.

Nilai maksimum berada pada x = -3 dengan nilai maksimum f(-3) = 1/3 (-3)³ – 9 . -3 = 18. Jadi titik maksimum (-3, 18). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 5

Sebuah bola dilempar keatas. Tinggi bola pada t detik dinyatakan dengan persamaan y(t) = -5t² + 40 t (dalam meter). Hitunglah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

y'(t) = 0
-10t + 40 = 0
10 (-t + 4) = 0
t = 4

Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah t = 4 meter.

Contoh soal 6

Perusahaan konveksi memproduksi n unit pakaian kemeja dengan biaya total dapat dihitung dengan menggunakan rumus B_n = 10.000 + 8.000 n + 1/3 n² rupiah. Pakaian kemeja dijual dengan harga Rp 60.000,00 per unit. Agar perusahaan tersebut memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja harus diproduksi sebanyak…

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan soal tersebut, rumus keuntungan pakaian kemeja = penjualan – biaya atau K = 60.000 n – (10.000 + 8.000 n + 1/3 n²) = – 1/3 n² + 52.000 n – 10.000.

k’ = – ²/₃ n + 52.000 = ^{3 . 52000}/₂ = 78.000. Jadi agar memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja yang harus diproduksi sebanyak 78.000 unit.

Contoh soal 7

Total penjualan suatu barang (k) merupakan perkalian antara harga (p) dengan permintaan (x) yang dinyatakan dengan k = px. Untuk p = 90 – 3x dalam jutaan rupiah dan 1 ≤ x ≤ 30, maka hitunglah total penjualan maksimum.

Penyelesaian soal / pembahasan

Rumus total penjuan k = px = (90 – 3x)x = 90x – 3x². k’ = 90 – 6x = x = ⁹⁰/₆ = 15. Jadi penjualan maksimum = 90 . 15 – 3(15)2 = 1350 – 675 = 675 juta rupiah.

Penyelesaian contoh soal nilai stasioner & nilai minimum & nilai maksimum

Contoh soal nilai stasioner

Contoh soal nilai minimum

Contoh soal nilai maksimum

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan