Contoh soal turunan perkalian pembagian + penyelesaiannya

Artikel ini membahas contoh soal turunan perkalian dan turunan pembagian yang disertai penyelesaiannya atau pembahasannya. Lalu apa itu turunan ?. Turunan pada dasarnya berkaitan dengan tingkat perubahan dari suatu fungsi. Tingkat perubahan suatu peubah atau variabel terikat sebagai akibat dari perubahan variabel bebas dapat ditentukan dengan turunan. Karena pada dasarnya semua yang ada mengalami perubahan, maka turunan sangat berguna sebagai dasar analisis matematika. Jika suatu keadaan dapat dinyatakan dengan suatu fungsi, maka keadaan tersebut dapat dianalisis secara matematik dengan menggunakan turunan.

Jika suatu fungsi dinyatakan dengan f(x) = a xⁿ maka rumus turunan f(x) terhadap x adalah f'(x) = a x^{n – 1}. Dengan notasi Leibniz d/dx (a xⁿ) = an x^{n – 1}.

Jika f(x) adalah perkalian atau pembagian dua fungsi yaitu U dan V dengan U dan V adalah fungsi dari x maka rumus turunan perkalian dan turunan pembagian sebagai berikut.

Turunan perkalian dan turunan pembagian — Rumus turunan perkalian dan pembagian

Contoh soal turunan

Contoh soal 1

Jika f(x) = 5x³ maka f'(x) = …
A. 15x
B. 15x²
C. 15x³
D. 15x⁴
E. 15x⁵

Penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui a = 5 dan n = 3 maka f'(x) = an x^{n – 1} = 5 . 3 x^{3 – 1} = 15x². Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 2

Jika f(x) = 1/2 x⁶ maka f'(x) = …
A. 12x
B. 12x⁵
C. 12x⁷
D. 3x⁵
E. 3x⁷

Penyelesaian soal

Diketahui a = 1/2 dan n = 6 maka turunan f(x) = f'(x) = an x^{n – 1} = 1/2 . 6 x^{6 – 1} = 3x⁵. Jawaban D.

Contoh soal 3

Jika f(x) = x² √ x maka f'(x) = …
A. 1/2x √ x
B. 1 1/2 x √ x
C. 2 1/2 x √ x
D. 1 1/2 x³ √ x
E. 3 1/2 x³ √ x

Penyelesaian soal

f(x) = x² √ x = x² . x^1/2 = x^{2 + 1/2} = x^5/2. Jadi diketahui a = 1 dan n = 5/2. Maka turunan f(x) = f'(x) = an x^{n – 1} = 1 . 5/2 x^{5/2 – 1} = 5/2 x^3/2 = 2 1/2 x √ x . Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 4

Jika y = 2x² + 6x + 1 maka y’ = …
A. 4
B. 4x
C. 4x + 6
D. 4x³ + 6x²
E. 4x³ + 6x² + 1

Penyelesaian soal

Jawaban soal nomor 2 sebagai berikut:

y’ = 2 . 2 x^{2 – 1} + 6 . 1 x^{1 – 1} + 0
y’ = 4x + 6.

Jadi jawabannya C.

Contoh soal 5

Jika y = 3x² + 1/x maka y’ = …
A. 6x
B. 6x + 1/x²
C. 6x – 1/x²
D. 6x + x²
E. 6x – x²

Penyelesaian soal

Soal diatas diubah bentuknya menjadi y = 3x² + x^-1. Sehingga turunannya adalah:

y’ = 2.3 x^{2 – 1} + (-1)x^-1-1.
y’ = 6x – x^-2.
y’ = 6x – 1/x²

Jawaban C.

Contoh soal 6

Jika f(x) = x⁴ – 2x³ + x² maka f'(2) = …
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
E. 20

Penyelesaian soal

Soal ini dijawab dengan cara dibawah ini:

f'(x) = 1 . 4 x^{4 – 1} – 2 . 3 x^{3 – 1} + 1 . 2 x^{2 – 1}
f'(x) = 4x³ – 6x² + 2x
f'(2) = 4.(2)³ – 6.(2)² + 2 . 2
f'(2) = 32 – 24 + 4 = 12.

Jawaban C.

Contoh soal turunan perkalian

Contoh soal 1

Jika y = (2x – 1) (x² + 1) maka y’ = …
A. 6x² – 2x – 2
B. 6x² – 2x + 2
C. 6x³ – 4x + 2
D. 6x³ + 4x + 2
E. 6x⁴ – 2x + 2

Penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini, misalkan U = 2x – 1 dan V = x² + 1. Maka diperoleh U’ = 2 dan V’ = 2x. Maka hasil turunan y adalah:

y’ = U’.V + V’.U.
y’ = 2 (x² + 1) + 2x (2x – 1).
y’ = 2x² + 2 + 4x² – 2x.
y’ = 6x² – 2x + 2.

Jawaban B.

Contoh soal 2

Jika f(x) = (x² + 1) (x² – 1) maka f'(x) = …
A. 4x³
B. 4x²
C. 4x
D. 4
E. 0

Penyelesaian soal

U = x² + 1 maka U’ = 2x dan V = x² – 1 maka V’ = 2x. Jadi hasil turunan sebagai berikut:

f'(x) = U’ . V + V’ . U
f'(x) = 2x (x² – 1) + 2x (x² + 1)
f'(x) = 2x³ – 2x + 2x³ + 2x
f'(x) = 4x³

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 3

Diketahui f(x) = (x² + 2x – 2) (x³ – x + 4) maka f'(1) = …
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
E. 26

Penyelesaian soal

Misalkan U = x² + 2x – 2 maka U’ = 2x + 2 dan V = x³ – x + 4 maka V’ = 3x² – 1. Dengan menggunakan rumus turunan perkalian diperoleh:

f'(x) = U’.V + V’.U.
f'(x) = (2x + 2) (x³ – x + 4) + (3x² – 1)(x² + 2x – 2).
f'(1) = (2.1 + 2)(1³ – 1 + 4) + (3 . 1³ – 1)(1² + 2 . 1 – 2).
f(1) = (4 . 4) + (2 . 1) = 18.

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal turunan pembagian

Contoh soal 1

Jika y =

x – 1

, x ≠ 0 maka y’ sama dengan …
A.

-1

(x – 1)²

-2x

(x – 1)²

x – 1

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini, misalkan U = x dan V = x – 1. Kemudian diperoleh hasil turunan yaitu U’ = 1 dan V’ = 1. Dengan menggunakan rumus turunan fungsi pembagian didapat:

y’ =

U’ V – V’ U

V²

y’ =

1 . (x – 1) – 1 . x

(x – 1)²

y’ =

(x – 1) – x

(x – 1)²

y’ =

– 1

(x – 1)²

Jawaban A.

Contoh soal 2

Jika f(x) =

x² – 4

x² + 2

, maka nilai dari f'(4) = …
A. 4/27
B.6/27
C. 8/27
D. 10/27
E. 12/27

Penyelesaian soal

Misalkan U = x² – 4 maka U’ = 2x dan V = x² + 2 maka V’ = 2x.

f'(x) =

U’ V – V’ U

V²

f'(x) =

2x . (x² + 2) – 2x . (x² – 4)

(x² + 2)²

f'(4) =

2 . 4 . (4² + 2) – 2 . 4 . (4² – 4)

(4² + 2)²

f'(4) =

(8 . 18) – (8 . 12)

(4² + 2)²

f'(4) =

Jawaban A.

Contoh soal 3

Jika y =

x – 3

x + 3

; x ≠ -3, maka y’ = …
A.

-6

(x + 3)²

-2x

(x + 3)²

6 – 2x

(x + 3)²

Penyelesaian soal

Misalkan U = x – 3 maka U’ = 1 dan V = x + 3 maka V’ = 1. Dengan menggunakan rumus turunan pembagian diperoleh hasil sebagai berikut.

y’ =

U’ V – V’ U

V²

y’ =

1 . (x + 3) – 1 . (x – 3)

(x + 3)²

y’ =

x + 3 – x + 3

(x + 1)²

y’ =

(x + 1)²

Jadi soal ini jawabannya B.