Contoh soal suku banyak dan pembahasannya + penyelesaiannya

Postingan ini membahas contoh soal suku banyak dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Lalu apa itu suku banyak ?. Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n- 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₁ x +a₀. Dengan syarat: n elemen bilangan cacah, dan a_n, a_{n – 1}, …, a₀ disebut koefisien-koefisien suku banyak, a₀ disebut suku tetap dan a_n ≠ 0.

Didalam suku banyak terdapat beberapa istilah penting yaitu nilai suku banyak, derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak. Lalu apa itu nilai suku banyak, derajat suku banyak, hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak ?. Penjelasannya sebagai berikut.

Nilai dan derajat suku banyak

Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sesuai dengan fungsi f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n- 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₁ x +a₀. Dengan syarat: n elemen bilangan cacah, dan a_n, a_{n – 1}, …, a₀ dimana n ∈ bilangan cacah dan a_n ≠ 0. Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara yaitu cara subtitusi dan cara Horner.

Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suatu suku banyak. Jika suku banyak ditulis a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n- 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₁ x +a₀. Dengan syarat: n elemen bilangan cacah, dan a_n, a_{n – 1}, …, a₀ maka derajat suku banyak tersebut adalah n.

Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak

Terdapat dua bentuk pembagian suku banyak yaitu pembagian oleh bentuk linear (ax + b) dan pembagian oleh bentuk kuadrat (ax² + bx + c).

Pembagian suku banyak dengan pembagi (x – k) dapat dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ax + b). Suku banyak f(x) dibagi (x – k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k) sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga f(x) = (x – k) h(x) + f(k). Pembagian suku banyak f(x) dibagi (ax + b) dapat diubah menjadi bentuk f(x) dibagi x – (- $\frac {b} {a}$ ). Berarti k = – $\frac {b} {a}$ sehingga pada pembagian suku banyak f(x) tersebut dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.

Pembagian suku banyak oleh bentuk linear (ax + b)

Suku banyak f(x) dibagi (ax + b) menghasilkan $\frac {h(x)} {a}$ sebagai hasil bagi dan f(- $\frac {b} {a}$ ) sebagai sisa pembagian, sehingga f(x) = (ax + b) $\frac {h(x)} {a}$ + f(- $\frac {b} {a}$ ).

Pembagian suku banyak dengan bentuk kuadrat ax² + bx + c dimana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa (cara bersusun) apabila ax² + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika dapat difaktorkan menggunakan cara Horner. Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal suku banyak dan pembahasannya + penyelesaiannya.

Contoh soal suku banyak

Contoh soal 1

Tentukan nilai suku banyak berikut ini dengan cara subtitusi.

x³ + 7x² – 4x + 3, untuk x = 5
5x⁴ + 7x² + 3x + 1, untuk x = -1

Pembahasan / penyelesaian soal

f(5) = 5³ + 7 . 5² – 4 . 5 + 3 = 283
f(-1) = 5 (-1)⁴ + 7 (-1)² + 3 . (-1) + 1 = 10

Contoh soal 2

Tentukan nilai suku banyak berikut ini dengan cara horner.

2x⁴ – x² + 8, untuk x = -3
x³ + 7x² – 2x + 4 untuk x = 2

Pembahasan / penyelesaian soal

Contoh soal 3

Tentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian dengan cara susun dari:

x³ + 2x² + 3x + 6 dibagi (x – 2)
2x³ – 4x² – 5x + 9 dibagi (x + 1)

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1 sebagai berikut.

Jadi hasil bagi soal nomor 1 = x² + 4x + 11 (derajat 2) dengan sisa pembagian = 28.

Jawaban soal 2 sebagai berikut.

Jadi hasil bagi soal nomor 2 = 2x² – 6x + 1 (derajat 2) dengan sisa pembagian 8.

Contoh soal 4

Tentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian cara Horner dari:

x³ + 4x² + x + 3 dibagi (x – 1)
x⁴ – x² + 7 dibagi (x + 1)

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1 sebagai berikut (pembagi x = 1).

Jawaban soal 2 sebagai berikut (pembagi x = -1).

Contoh soal 5

Tentukan hasil bagi dan sisanya dengan cara susun jika:

x⁴ – x³ + 16 dibagi (x – 3)
x³ + 7x² + 4 dibagi (x – 2)

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1 sebagai berikut.

Jadi hasil bagi soal 1 adalah x³ + 2x² + 6x + 18 dengan sisa 70.

Jawaban soal 2 sebagai berikut.

Jadi hasil bagi x² + 9x + 18 dengan sisa 40.

Contoh soal 6

Tentukan hasil bagi dan sisanya menggunakan cara Horner x³ – 2x² + 5x – 4 dibagi (3x – 2)

Pembahasan / penyelesaian soal

Pembagi diuraikan menjadi (3x – 2) = 3 (x – 2/3).

Contoh soal 7

Tentukan hasil bagi dan sisanya jika x³ + 3x² + 5x + 9 dibagi dengan (x² – 2x + 1).

Pembahasan / penyelesaian soal

Jadi hasil bagi x + 5 dengan sisa 14x + 4.

Contoh soal 8

Tentukan hasil bagi dan sisanya jika x⁴ + 4x³ + 2x – 5 dibagi (x² + 2x – 3).

Pembahasan / penyelesaian soal

Pembagi x² + 2x – 3 = (x – 1) (x + 3).

Jadi hasil bagi = x² + 2x – 1 dengan sisa 10x – 8. Cara menentukan sisa sebagai berikut.

s₁ = -38
s₂ = 10
x₁ = -3
S = s₂ (x – x₁) + s₁
S = 10 (x – (-3)) + (-38)
S = 10x + 30 – 38
S = 10x – 8.

Contoh soal 9

Tentukan nilai a dan b jika x³ + ax + b habis dibagi (x² + x + 1).

Pembahasan / penyelesaian soal

Contoh soal 10

Tentukan nilai a dan b jika -3x³ + 14 x² + ax + b dibagi (-x² + 4x – 1) dan sisanya (6 – 7x).

Pembahasan / penyelesaian soal

Karena -x² + 4x – 1 tidak dapat difaktorkan maka kita menggunakan cara susun. -x² + 4x – 1 = – (x² – 4x + 1).

Contoh soal 11

Tentukan nilai a sehingga 2x³ + x² – 13x + a habis dibagi x – 2, kemudian tentukan hasil baginya.

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal kita gunakan cara Horner sebagai berikut:

Sekian.