Contoh soal proyeksi vektor & jawabannya

Postingan ini membahas tentang contoh soal proyeksi vektor dan jawabannya atau pembahasannnya. Untuk memahami bagaimana cara menghitung panjang proyeksi vektor dan proyeksi vektor itu sendiri, perhatikan gambar dibawah ini.

Berdasarkan gambar proyeksi vektor tersebut, rumus menentukan panjang proyeksi vektor c dan proyeksi vektor c sebagai berikut:

Contoh soal 1

Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3, 1, -1) pada vektor (2, 5, 1) adalah…
A. 1/2 (2, 5, 1)
B. 1/3 (2, 5, 1)
C. 1/ √ 30   (2, 5, 1)
D. 1/3 √ 30   (2, 5, 1)
E. 1/4 (2, 5, 1)

Jawaban / pembahasan

Misalkan vektor a = (3, 1, -1) dan vektor b = (2, 5, 1) dan proyeksi vektor a pada vektor b adalah c maka:

a . b = (3 . 2) + (1 . 5) + (1 . -1) = 6 + 5 + (-1) = 10
|b| = √

22 + 52 + (-1)2

= √

4 + 25 + 1

= √

30

c =

a . b

|b|2

b
c =

10

(√

30

)2

(2, 5, 1) = 1/3 (2, 5, 1)

Jadi soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 2

Vektor z adalah proyeksi vektor x = (- √ 3   , 3, 1) pada vektor y = ( √ 3   , 2, 3). Panjang vektor z = …
A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 2
E. 5/2

Jawaban / pembahasan

x . y = (-√

3

. √

3

+ (3 . 2) + 1 . 3) = -3 + 6 + 3 = 6
|y| = √

( √ 3   )2 + 22 + 32

= √

3 + 4 + 9

= √

16

= 4
|z| =

x . y

|y|

|z| =

6

4

=

3

2

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 3

Diketahui P(2, -3, 0) ; Q(3, -1, 2) ; dan R(4, -2, -1). Panjang proyeksi vektor PQ pada vektor PR adalah…
A. 1/2
B. 1/3
C. √ 2   /3
D. 2/3
E. √ 6   /3

Jawaban / pembahasan

Tentukan terlebih dahulu vektor PQ dan vektor PR dengan cara dibawah ini:

• PQ = (3 – 2, -1 – (-3), 2 – 0) = (1, 2, 2)
• PR = (4 – 2, -2 – (-3), -1 – 0) = (2, 1, -1)
• PQ . PR = (1 . 2) + (2 . 1) + (2 . -1) = 2

Selanjutnya menentukan panjang PR dan panjang proyeksi dengan cara dibawah ini.

|PR| = √

22 + 12 + (-1)2

= √

4 + 1 + 1

= √

6

|panjang proyeksi| =

PQ . PR

|PR|

|panjang proyeksi| =

2

√ 6  

=

√ 6  

3

Jadi soal ini jawabannya E.

---

Contoh soal 4

Jawaban / pembahasan

Pada soal diatas diketahui:

• u = (-3, 4, x)
• v = (2, 3, -6)
• panjang proyeksi |z| = 6

Cara menentukan nilai x sebagai berikut:

|v| = √

22 + 32 + (-6)2

= √

4 + 9 + 36

= √

49

= 7
|z| =

u . v

|v|

6 =

(-3 . 2) + (4 . 3) + (x . -6)

7

6 . 7 = -6 + 12 – 6x
42 = 6 – 6x
6x = 6 – 42 = -36
x = -36/6 = -6

Jadi soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 5

Jawaban / pembahasan

Cara menjawab soal ini kita gunakan rumus sudut antara dua vektor sebagai berikut:

Cos α =

a . b

|a| |b|

= |c| .

1

|a|

cos 60° = 1/2 √ 5   .

1

|a|

1/2 = 1/2 √ 5   .

1

|a|

|a| = √ 5  
|a| = √

x2 + (2x + 1)2 + (-x √ 3   )2

5 = x2 + (2x + 1)2 + (-x √ 3   )2
5 = x2 + 4x2 + 4x + 1 + 3x2
8x2 + 4x – 4 = 0
2x2 + x – 1 = 0
(2x – 1) (x + 1) = 0
x = 1/2 atau x = -1

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 6

Diketahui kubus OABC.DEFG. Jika OA(1, 0, 0) dan OC(0, 0, 1) maka vektor proyeksi AF ke OF adalah…
A. 1/2 (1, 1, 1)
B. √ 3   /3 (1, 1, 1)
C. 2/3 √ 3   (1, 1, 1)
D. 2/3 (1, 1, 1)
E. 3/4 (1, 1, 1)

Jawaban / pembahasan

Kubus diatas adalah kubus dengan panjang sisi 1 x 1 x 1. Jadi diketahui:

• O = (0, 0, 0)
• A = (1, 0, 0)
• F = (1, 1, 1)
• AF = (1 – 1, 1 – 0, 1 – 0) = (0, 1, 1)
• OF = (1 – 0, 1 – 0, 1 – 0) = (1, 1, 1)

Cara menentukan vektor proyeksi AF ke OF sebagai berikut:

AF . OF = (0.1 + 1.1 + 1.1) = 0 + 1 + 1 = 2
|OF| = √

12 + 12 + 12

= √

1 + 1 + 1

= √

3

|vektor proyeksi| =

AF . OF

|OF|2

OF
|vektor proyeksi| =

2

√ 3   2

(1, 1, 1) =

2

3

(1, 1, 1)

Jadi soal ini jawabannya D.