Lompat ke konten

Contoh soal persamaan parabola dan pembahasannya

  • oleh
Persamaan parabola

Artikel ini membahas contoh soal persamaan parabola dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu selalu sama. Titik tertentu pada parabola disebut dengan titik fokus (f), sedangkan garis tertentu dinyatakan dengan garis direktris (d).

Persamaan parabola yang sumbu simetri sejajar sumbu X sebagai berikut.

(y – b)2 = 4p (x – a)
Keterangan:
4p = panjang latus rectum
P(a, b) disebut koordinat titik puncak
F(a + p, b) disebut titik fokus
x = a – p disebut persamaan garis direktris.

Persamaan parabola yang sumbu simetri sejajar sumbu Y sebagai berikut.

(x – a)2 = 4p (y – b)
Keterangan:
4p = panjang latus rectum
P(a, b) disebut koordinat titik puncak
F(a, b + p) disebut titik fokus
y = b – p disebut persamaan garis direktris.

Persamaan umum parabola sebagai berikut.

y2 + Ax + By + C = 0
Keterangan:
A = – 4p
B = – 2b
C = b2 – 4pa

Contoh soal persamaan parabola

Contoh soal persamaan parabola nomor 1

Tentukan persamaan parabola jika diketahui unsur-unsur parabola sebagai berikut.
a. puncak parabola pada titik (2,3), sumbu simetri parabola sejajar sumbu Y, dan parabola melalui titik (3,4).
b. Persamaan direktriks parabola adalah y = 1, dan titik fokus parabola adalah F(-3, 7).
c. Titik fokus parabola di (3,0), dan persamaan direktriks parabola adalah x = -3.

Pembahasan/penyelesaian soal

  • Jawaban a

Diketahui:
a = 2
b = 3
x = 3
y = 4

Cari p dengan menggunakan persamaan parabola sumbu simetri sejajar sumbu Y.

(x – a)2 = 4p (y – b)
(3 – 2)2 = 4p (4 – 3)
1 = 4p
p = \frac {1} {4}

Maka persamaan parabola sebagai berikut.

(x – a)2 = 4p (y – b)
(x – 2)2 = 4 . \frac {1} {4} (y – 3)
(x – 2)2 = y – 3
y = (x – 2)2 + 3

  • Jawaban b

Diketahui:
y = b – p = 1
a = -3
b + p = 7

Cari nilai b dengan cara dibawah ini.

b – p = 1
b + p = 7
___________+
2b = 8
b = \frac {8} {2} = 4

Cari nilai p dengan cara dibawah ini.

b – p = 1
4 – p = 1
p = 4 – 1 = 3

Maka persamaan parabola sebagai berikut.

(x – a)2 = 4p (y – b)
(x – (-3))2 = 4 . 3 (y – 4)
(x + 3)2 = 12 (y – 4)

  • Jawaban c

Diketahui:
a + p = 3
b = 0
a – p = -3

Cari nilai a dengan cara dibawah ini.

a + p = 3
a – p = -3
________+
a = 0

Cari nilai p dengan cara dibawah ini.

a + p = 3
0 + p = 3
p = 3

Maka persamaan parabola sebagai berikut.

(y – b)2 = 4p(x – a)
(y – 0)2 = 4p(x – 0)
y2 = 4px

Contoh soal persamaan parabola nomor 2

Tentukan unsur-unsur parabola seperti titik fokus, persamaan garis direktriks, dan puncak dari persamaan parabola berikut.
a. x2 = -24y
b. y2 – 16x = 0

Pembahasan/penyelesaian soal

  • jawaban a

x2 = -24y
(x – 0)2 = 4 . -6 (y – 0)
a = 0
b = 0
p = -6

Diperoleh hasil sebagai berikut.

Titik puncak = (a, b) = (0,0).
Titik fokus = (a, b + p) = (0, -6)
Persamaan direktriks y = b – p = 0 – (-6) = 6

  • Jawaban b

y2 – 16x = 0
y2 = 16x
(y – 0)2 = 4 . 4 (x – 0)
a = 0
b = 0
p = 4

Diperoleh hasil sebagai berikut.

Titik puncak = (a, b) = (0,0).
Titik fokus = (a + p, b) = (4, 0)
Persamaan direktriks y = a – p = 0 – 4 = -4.


Contoh soal persamaan parabola nomor 3

Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri dan direktriks persamaan parabola y2 = 8x.

Pembahasan / penyelesaian soal

Persamaan parabola yang pertama dapat ditulis dengan persamaan (y – 0)2 = 8 (x – 0)2. Berdasarkan persamaan tersebut kita ketahui:

  • Parabola terbuka ke kanan
  • a = 0
  • b = 0
  • 4p = 8 atau p = 8/4 = 2

Dengan demikian diperoleh:

  • titik puncak (a , b) = (0, 0)
  • titik fokus f(a + p, b) = f(0 + 2, 0) = f(2, 0).
  • Persamaan sumbu simetri y = b atau y = 0
  • Persamaan direktriks y = a – p = 0 – 2 = -2

Contoh soal persamaan parabola nomor 4

Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri dan direktriks persamaan parabola (x – 2)2 = – 12 (y – 4)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan persamaan parabola diatas diketahui:

  • Parabola terbuka ke bawah
  • a = 2
  • b = 4
  • -4p = -12 atau p = -12/-4 = 3

Berdasarkan data tersebut diperoleh:

  • Titik puncak (a, b) = (2, 4)
  • Titik fokus = (a, b – p) = (2, 4 – 3) = (2, 1)
  • Persamaan sumbu simetri x = a atau x = 2
  • Direktriks y = b + p = 4 + 3 = 7

Contoh soal persamaan parabola nomor 5

Tentukan titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat titik fokus persamaan parabola y2 – 16x – 8y – 16 = 0.

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

  • A = -16
  • B = – 8
  • C = -16

Dengan demikian diperoleh:

  • A = -4p = -16 atau p = 16/4 = 4
  • B = -2b = – 8 atau b = -8/-2 = 4
  • C = b2 – 4pa = -4 atau 42 – 4 . 4 . a = -16
  • 16 a = 16 + 16 = 32 atau a = 32/16 = 2

a = 2, b = 4 dan p = 4 sehingga didapat:

  • Koordinat titik puncak = (a, b) = (2, 4)
  • Koordinat titik fokus = (a + p, b) = (2 + 4, 4) = (6 , 4)
  • Persamaan sumbu simetri y = b atau y = 4
  • Direktriks x = a – p = 2 – 4 = -2

Contoh soal persamaan parabola nomor 6

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (0, 0) dan titik fokus (3 , 0).

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan soal diatas diketahui:

  • a = 0
  • b = 0
  • p = 3

Dengan demikian persamaan parabola (y – b)2 = 4p (x – a) atau (y – 0)2 = 4 . 3 (x – 0) atau y2 = 12x.


Contoh soal persamaan parabola nomor 7

Koordinat titik fokus parabola dengan persamaan (x + 2)2 = -8 (y – 3) adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

  • Sumbu simetri sejajar sumbu Y
  • a = – 2
  • b = 3
  • -4p = -8 atau p = 2

Jadi titik fokus parabola = (a, b – p) = (-2, 3 – 2) = (-2, 1).


Contoh soal persamaan parabola nomor 8

Persamaan parabola dengan titik puncak (1, -2) dan titik fokus (5, -2) adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

  • a = 1
  • b = -2
  • a + p = 5 atau p = 5 – a = 5 – 1 = 4

Karena b pada titik puncak dan titik fokus sama dan p positif maka parabola ini sumbu simetri sejajar sumbu X dengan persamaan sebagai berikut:

  • (y – b)2 = 4p (x – a)
  • (y – (-2))2 = 4 . 4 (x – 1)
  • y2 + 4y + 4 = 16x – 16
  • y2 + 4y – 16x + 20 = 0

Contoh soal persamaan parabola nomor 9

Persamaan parabola yang berpuncak pada titik (2, 4) dan titik fokus (5, 4) adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = 2
  • b = 4
  • a + p = 5 atau p = 5 – a = 5 – 2 = 3

Jadi persamaan parabola sebagai berikut:

  • (y – b)2 = 4p (x – a)
  • (y – 4)2 = 4 . 3 (x – 2)
  • (y – 4)2 = 12 (x – 2)

Contoh soal persamaan parabola nomor 10

Persamaan garis singgung pada parabola y2 = 8x yang tegak lurus garis 2x + 3y – 6 = 0 adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

Gradien dari garis 2x + 3y – 6 = 0 adalah m2 = –
2
3

Karena tegak lurus berlaku m1 . m2 = -1 atau m1 =
-1
m2
=
-1
-2/3
= 3/2
Persamaan garis singgung y = mx +
p
m

y = 3/2 x +
2
3/2
(dikali 6)
6y = 9x + 8 atau 9x – 6y + 8 = 0

You cannot copy content of this page