Contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya + jawaban

Postingan ini membahas contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya atau pembahasannya + jawaban. Lalu apa itu persamaan kuadrat ?. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang hanya memuat satu peubah atau variabel dan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0, dengan a, b , c ∈ R dan a ≠ 0. Rumus yang berlaku pada persamaan kuadrat sebagai berikut.

Contoh persamaan kuadrat sebagai berikut:

2x² + 3x – 2 = 0
x² – 6x + 9 = 0
x² – 16 = 0

Contoh soal persamaan kuadrat

Contoh soal 1

Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2x² – 4x = 0 adalah…
A. 0 atau 1
B. 0 atau 2
C. 1 atau 2
D. 2 atau 4

Penyelesaian soal / Pembahasan

2x² – 4x = 0
2x (x – 2) = 0
2x₁ = 0 → x₁ = 0/2 = 0
x₂ – 2 = 0 → x₂ = 2
Jadi himpunan penyelesaian soal ke-1 adalah 0 atau 2. Jawaban B.

Contoh soal 2

Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x² – 16 = 0 adalah …
A. 0 atau 4
B. 0 atau 16
C. – 4 atau 4
D. -4 atau 16

Penyelesaian soal / pembahasan

x² – 16 = 0
x² = 16 atau x = ± √16
x₁ = 4 dan x₂ = -4

Jadi himpunan penyelesaian soal ke-2 adalah -4 atau 4. Jawaban C.

Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat x² + 11x – 26 = 0 adalah …
A. -13 atau 2
B. -2 atau 13
C. 0 atau 11
D. 11 atau 26

Penyelesaian soal / pembahasan

x² + 11x – 26 = 0
(x + 13) (x – 2) = 0
x₁ + 13 = 0
x₁ = -13
x₂ – 2 = 0 maka x₂ = 2.
Jadi himpunan penyelesaian soal diatas adalah -13 atau 2. Jawaban A.

Contoh soal 3

Salah satu penyelesaian 2x² – x – 6 = 0 adalah …
A. x = -2
B. x = 1 $\frac {1} {2}$
C. x = 1 $\frac {3} {2}$
D. x = 2

Penyelesaian soal / pembahasan

(2x + 3) (x – 2) = 0
x = – $\frac {2} {3}$ atau x = 2
Jawaban D.

Contoh soal 4

Selisih kuadrat akar-akar persamaan 2x² – 6x + 2k + 1 adalah 6. Nilai k adalah…
A. 1/4
B. 3/4
C. 3/2
D. -3/4
E. -1/4

Penyelesaian soal / pembahasan

D = b² – 4 a c
D = (-6)² – 4 . 2 . (2k + 1)
D = 36 – 8 (2k + 1)
(x₁ – x₂)² = ( $\frac {\sqrt {D}} {a}$ )²
6 = $\frac {D} {2^2}$
6 . 4 = 36 – 8 (2k + 1)
24 – 36 = -16k – 8
-12 + 8 = -16k
k = $\frac {-4} {-16}$ = 1/4
Jawaban A

Contoh soal 5

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 atau – 5 adalah…
A. x² + x + 5 = 0
B. x² + 3x + 10 = 0
C. x² + 3x – 10 = 0
D. x² – 3x + 10 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

(x – 2) (x – (-5)) = 0
(x – 2) (x + 5) = 0
x² + 5x – 2x – 10 = 0
x² + 3x – 10 = 0
Jawaban C

Contoh soal 6

Jika 3 merupakan salah satu akar persamaan 3x² + bx + 6 = 0 maka nilai b adalah…
A. -11
B. -5
C. -2
D. 7

Penyelesaian soal / pembahasan

Ganti x = 3 sehingga diperoleh:
3 . 3² + 3b + 6 = 0
27 + 3b + 6 = 0
3b = -33
b = -33/3 = -11
Jawaban A

Contoh soal 7

Hasil pemfaktoran persamaan kuadrat x² – 10x – 24 adalah…
A. (x – 4) (x – 6)
B. (x – 2) (x – 12)
C. (x + 2) (x – 12)
D. (x + 4) (x – 6)

Penyelesaian soal / pembahasan

… + … = -10
… x … = -24
Jawaban yang tepat adalah + 2 dan -12
Jawaban C.

Contoh soal 8

Jika akar-akar persamaan kuadrat -x² + 7x – 6 = 0 adalah p dan q, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p – 2) dan (q – 2) adalah…
A. x² + 9x – 4 = 0
B. x² + 3x + 4 = 0
C. -x² – 3x – 4 = 0
D. x² + 3x – 4 = 0
E. -x² + 3x + 4 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

p + q = – $\frac {b} {a}$ = $\frac {-7} {-1}$ = 7
p . q = $\frac {c} {a}$ = $\frac {-6} {-1}$ = 6
x² + {(p – 2) + (q – 2)} x + (p – 2) (q – 2) = 0
x² + {-4 + (p + q)} x + p . q – 2 (p + q) + 4 = 0
x² + {- 4 + 7} x + 6 – 2 . 7 + 4 = 0
x² + 3x – 4 = 0
Jawaban D

Contoh soal 9

Akar-akar persamaan kuadrat 3x² – x – 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x₁ – 1) dan (3x₂ – 1) adalah…
A. x² – x – 38 = 0
B. x² + x – 32 = 0
C. x² + x + 12 = 0
D. x² + x – 12 = 0
E. x² – x – 12 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

x₁ + x₂ = – $\frac {b} {a}$ = – $\frac {-1} {3}$ = $\frac {1} {3}$
x₁ . x₂ = $\frac {c} {a}$ = – $\frac {4} {3}$
x² + {(3x₁ – 1) + (3x₂ – 1)} x + (3x₁ – 1) (3x₂ – 1)
x² + {3(x₁ + x₂) – 2} x + 9 x₁ . x₂ – 3 (x₁ + x₂) + 1 = 0
x² + (3 . $\frac {1} {3}$ – 2) x + 9 . (- $\frac {4} {3}$ ) – 3 . $\frac {1} {3}$ + 1 = 0
x² – x – 12 = 0
Jawaban E

Contoh soal 10

Persamaan kuadrat x² + kx – (2k + 4) = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α² + β² = 53, nilai k yang memenuhi adalah…
A. k = -15 atau k = 3
B. k = -9 atau k = -5
C. k = 9 atau k = 5
D. k = -9 atau k = 5
E. k = 9 atau k = -5

Penyelesaian soal / pembahasan

α + β = – $\frac {b} {a}$ = – $\frac {k} {1}$ = -k
α . β = $\frac {c} {a}$ = – (2k + 4)
α² + β² = 53
(α + β)² – 2 α . β = 53
(-k)² – 2 . – (2k + 4) = 53
k² + 4k + 8 – 53 = 0
k² + 4x – 45 = 0
(k + 9) (x – 5) = 0
k = – 9 atau k = 5
Jawaban D

Contoh soal 11

Salah satu akar persamaan x² + ax + 4 = 0 tiga lebih dari akar yang lain. Nilai a yang memenuhi adalah…
A. -5 atau 5
B. -4 atau 4
C. -3 atau 3
D. -2 atau 2
E. -1 atau 1

Penyelesaian soal / pembahasan

Misal akar persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka x₁ = x₂ + 3
x₁ . x₂ = $\frac {c} {a}$ = 4
(x₂ + 3) x₂ = 4
x₁² + 3₂ – 4 = 0
(x₂ – 1) (x₂ + 4) = 0
x₂ = 1 atau x₂ = -4
Jika x₂ = 1 maka x₁ = 1 + 3 = 4
JIka x₂ = -4 maka x₁ = -4 + 3 = -1
a = x₁ + x₂ = 4 + 1 = 5 atau -1 + -4 = -5
Jawaban A

Contoh soal 12

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 10x + 2 = 0 maka nilai dari x₁² x₂ + x₁ . x₂² adalah…
A. -5
B. -10
C. -15
D. -20
E. -25

Penyelesaian soal / pembahasan

x₁ + x₂ = – $\frac {b} {a}$ = – $\frac {10} {1}$ = -10
x₁ . x₂ = $\frac {c} {a}$ = $\frac {2} {1}$ = 2
x₁² x₂ + x₁ x₂² = x₁ . x₂ (x₁ + x₂)
2 . – 10 = -20
Jawaban = D.

Contoh soal 13

Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 6x + 2 = 0. Nilai x₁² + x₂² – 4x₁x₂ adalah…
A. 16
B. 18
C. 24
D. 26
E. 28

Penyelesaian soal / pembahasan

x₁ + x₂ = -b/a = -6
x₁ . x₂ = c/a = 2
x₁ ² + x₂² – 4x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 2x₁ x₂ – 4x₁ x₂
(x₁ + x₂)² – 6x₁ x₂ = (-6)² – 6 . 2)
36 – 12 = 24
Jawaban C

Contoh soal 14

Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 7 = 0 adalah α dan β. Maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah …
A. x² – x – 9 = 0
B. x² – x + 9 = 0
C. x² + x – 9 = 0
D. x² + 9x – 1 = 0
E. x² – 9x + 1 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

α + β = – 3 dan α . β = -7
x² – (x₁ + x₂)x + x₁ . x₂ = 0
x² – {(α + 2) + (β + 2)} x + (α + 2)(β + 2) = 0
x² – (α + β + 4) x + (α . β + 2 (α + β) + 4) = 0 …(pers 1)
Kemudian kita subtitusi α + β = – 3 dan α . β = – 7 ke persamaan (1) maka diperoleh hasil:
x² – (-3 + 4) x + (-7 + 2 (-3) + 4) = 0.
x² – (1) x + (-7 – 6 + 4) = 0
x² – x – 9 = 0

Jadi persamaan kuadrat x² – x – 9 = 0. Jawaban A.

Contoh soal 15

Batas nilai m agar persamaan kuadrat (m + 3)x² + mx + 1 = 0 mempunyai akar-akar riil adalah…
A. 2 ≤ m ≤ 6
B. -2 ≤ m < 6
C. m ≤ 2 atau m ≥ 6
D. m < -2 atau m > 6
E.m ≤ -6 atau m ≥ -2

Penyelesaian soal / pembahasan

Syarat akar riil D > 0
b² – 4 . a . x > 0
m² – 4 (m + 3) . 1 > 0
m² – 4m – 12 > 0
(m – 6) (m + 2) > 0
m > 6 atau m < -2
Jawaban D

Contoh soal 16

Batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat mx² + (m – 4)x + 1/2 = 0 mempunyai akar-akar berlainan adalah…
A. -8 < m < 2
B. – 2 < m < 8
C. 2 < m < 8
D. m < 2 atau m > 8
E. m < – 8 atau m > -2

Penyelesaian soal / pembahasan

Syarat akar berlainan D > 0 atau b² – 4 . a . c > 0
(m – 4)² – 4 m . 1/2 > 0
m² – 8m + 16 – 2m > 0
m² – 10m + 16 > 0
(m – 8) (m – 2) > 0
m < 2 atau m > 8
Jawaban D.

Contoh soal 17

Diketahui persamaan kuadrat x² – (b + 2) x + b = 0 mempunyai akar-akar m dan n. Jika m² + n² = 28 maka tentukan nilai b positif yang memenuhi.

Penyelesaian soal / pembaahsan

Pada soal ini diketahui (m + n) = b + 2 dan m . n = b. Untuk menentukan nilai b positif yang memenuhi dilakukan dengan cara sebagai berikut:

m² + n² = 28
(m + n)² – 2 (m . n) = 28
Subtitusi (m + n) = b + 2 dan m . n = b ke persamaan diatas sehingga didapat:
(b + 2)² – 2 . b = 28.
b² + 4b + 4 – 2b – 28 = 0
b² + 2b – 24 = 0
(b + 6) (b – 4) = 0
b = -6 dan b = 4

Jadi b positif yang memenuhi adalah 4 .

Contoh soal 18

Diketahui persamaan kuadrat 2x² + 6x + c = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Jika p² + q² = 8, hitunglah nilai c.

Penyelesaian soal / pembahasan

Berdasarkan persamaan kuadrat diatas diketahui a = 2, b = 6 dan c. Untuk mencari c sebagai berikut:

p² + q² = 8
(p + q)² – 2 p.q = 8
(- b/a)² – 2 (c/a) = 8
(- 6/2)² – 2 (c/2) = 8
9 – c = 8 maka c = 9 – 8 = 1

Jadi nilai c = 1.

Contoh soal 19

Diketahui persamaan kuadrat x² + (m – 1) x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata yang berbeda. Tentukan batasan nilai m yang memenuhi.

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita terapkan syarat jenis-jenis persamaan kuadrat yaitu:

D > 0 bila akar-akar persamaan kuadrat nyata dan berlainan (x₁ ≠ x₂)
D = 0 jika akar-akar persamaan kuadrat nyata dan sama ((x₁ = x₂)
D < 0 jika akar-akar persamaan kuadrat khayal.

Pada soal diatas akar-akar persamaan kuadrat nyata dan berbeda sehingga memenuhi syarat pertama:

D > 0
b² – 4 . a . c > 0
(m – 1)² – 4 . 1. 9 > 0
m² – 2m + 1 – 36 > 0
m² – 2m – 35 > 0
(m – 7) (m + 5) > 0
m – 7 > 0 atau m > 7
m + 5 > 0 atau m < – 5

Jadi nilai m yang memenuhi adalah m < – 5 atau m > 7.

Contoh soal 20

Diketahui persamaan kuadrat x² + (α + 1) x + (2 – α) = 0 mempunyai akar-akar tidak nyata. Tentukan nilai α yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Penyelesaian soal / pembahasan

Akar-akar persamaan kuadrat tidak nyata atau tidak real jika:

D < 0
b² – 4ac < 0
(α + 1)² – 4 . 1 . (2 – α) < 0
α² + 2α + 1 – 8 + 4α < 0
α² + 6α -7 <0
(α + 7) (α – 1) < 0
α > -7 atau α < 1 atau -7 < α < 1

Jadi nilai yang memenuhi -7 < α < 1.

Contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya + jawaban

Contoh soal persamaan kuadrat

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan