Contoh soal transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi) + pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal jenis transformasi geometri bidang datar yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perbesaran) yang disertai pembahasannya. Transformasi pada bangun geometri merupakan suatu aturan yang memindahkan suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain dengan tidak mengubah bentuk bangun tersebut.

Translasi / pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. Arah pemindahan translasi yaitu sepanjang garis searah sumbu X dan ruas garis searah sumbu Y. Translasi T $\begin {bmatrix}a \\ b \end {bmatrix}$ memetakan titik A (x, y) ke titik A’ (x’, y’) dengan aturan sebagai berikut.

titik x digeser sejauh a
titik y digeser sejauh b

$\begin {bmatrix}x' \\ y' \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$ + $\begin {bmatrix}a \\ b \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}x + a \\ y + b \end {bmatrix}$ . Diperoleh A’ (x + a, y + b).

Refleksi atau pencerminan adalah cara menggambarkan bayangan cermin suatu bangun. Sumbu simetri atau sumbu cermin pada refleksi dibedakan menjadi beberapa macam yaitu sebagai berikut.

Refleksi terhadap sumbu X. Jika P (a, b) maka bayangannya P’ (a, -b)
Refleksi terhadap sumbu Y. Jika P (a, b) maka bayangannya P’ (-a, b)
Refleksi terhadap garis x = k. Jika P (a, b) maka bayangannya P’ (2k – a, b)
Refleksi terhadap garis y = k. Jika P (a, b) maka bayangannya P’ (a, 2k – b)
Refleksi terhadap garis x = y. Jika P (a, b) maka bayangannya P’ (b, a)
Refleksi terhadap garis x = -y. Jika P (a, b) maka bayangannya P’ (-b, -a)

Dalam persamaan matriks, refleksi dibedakan menjadi beberapa macam yaitu sebagai berikut.

Pencerminan terhadap sumbu X. Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah A’ (x’, y’) diperoleh dengan persamaan:
$\begin {bmatrix}x' \\ y' \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$
Pencerminan terhadap sumbu Y. Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah A’ (x’, y’) diperoleh dengan persamaan:
$\begin {bmatrix}x' \\ y' \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$
Percerminan terhadap garis Y = X. Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap garis y = x dan bayangannya A’ (x’, y’) diperoleh dengan persamaan :
$\begin {bmatrix}x' \\ y' \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$
Pencerminan terhadap garis Y = – X. Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap garis y = -x dan bayangannya A’ (x’, y’) diperoleh dengan persamaan :
$\begin {bmatrix}x' \\ y' \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0 \end {bmatrix}$ $\begin {bmatrix}x \\ y \end {bmatrix}$
Percerminan terhadap titik asal. Jika titik A (x, y) dicerminkan terhadap titik O (0, 0) maka bayangannya adalah A’ (-x, -y).

Bayangan akibat rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut rotasi. Rotasi terdiri dari 2 macam yaitu sebagai berikut.

Jika titik P(x, y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan arah berlawanan jarum jam maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’) dengan persamaan :
x’ = x cos α – y sin α
y’ = x sin α + y cos α
Jika titik P(x, y) dirotasi terhadap titik pusat A(a,b) dengan arah berlawanan jarum jam maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’) dengan persamaan:
x’ – a = (x – a) cos α – (y – b) sin α
y’ – b = (x – a) sin α + (y – b) cos α
Keterangan : α menyatakan sudut rotasi.

Bayangan akibat dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala. Dilatasi dengan pusat O (0, 0) dengan faktor skala k dirumuskan dengan [O, k].

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’):
x’ = k . x
y’ = k . y
Jika titik P(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a, b) maka diperoleh bayangan P'(x’ , y’):
x’ = a + k (x – a)
y’ = b + k (y – b)
Keterangan : k = faktor dilatasi

Contoh soal translasi

Contoh soal 1

Bayangan dari titik B (-5, 2) ditranslasikan oleh T $\begin {bmatrix} 4 \\ -6 \end {bmatrix}$ adalah …
A. B’ (9, 6)
B. B’ (1, -4)
C. B’ (-1, 4)
D. B’ (-1, -4)
E. B’ (-9, -8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui :

x = -5
y = 2
a = 4
b = -6

Cara menentukan hasil translasi x’ dan y’ sebagai berikut.

x’ = x + a = -5 + 4 = -1
y’ = y + b = 2 + (-6) = -4

Jadi hasil translasinya B’ (-1, -4)

Contoh soal 2

Koordinat bayangan titik P (5, -4) oleh translasi $\begin {bmatrix}3 \\ -1 \end {bmatrix}$ adalah P’ (x’, y’). Nilai x’ + y’ adalah …
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
E. 3

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

x = 5
y = -4
a = 3
b = -1

Selanjutnya tentukan nilai x’ dan y’ dengan cara dibawah ini.

x’ = x + a = 5 + 3 = 8
y’ = y + b = -4 + -1 = -5

Jadi x’ + y’ = 8 + (-5) = 3. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 3

Koordinat bayangan titik (3, 4) pada translasi $\begin {bmatrix}1 \\ 3 \end {bmatrix}$ dilanjutkan $\begin {bmatrix}-1 \\ 2 \end {bmatrix}$ adalah …
A. (4, 8)
B. (4, 7)
C. (3, 8)
D. (3, 9)
E. (2, 6)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

x = 3
y = 4
a = 1 + (-1) = 0
b = 3 + 2 = 5

Cara menjawab soal ini sebagai berikut.

x’ = x + a = 3 + 0 = 3
y’ = y + b = 4 + 5 = 9

Jadi hasil translasi (3, 9). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 4

Koordinat bayangan titik P (2, 3) oleh translasi $\begin {bmatrix}4 \\ 5 \end {bmatrix}$ yang dilanjutkan dengan $\begin {bmatrix}a \\ b \end {bmatrix}$ adalah (4, 5). Nilai a + b adalah …
A. -6
B. -5
C. -4
D. -3
E. -2

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui :

x = 2
x’ = 4
y = 3
y’ = 5

Cara menjawab soal ini sebagai berikut.

x’ = 2 + 4 + a
4 = 6 + a atau a = 4 – 6 = -2
y’ = 3 + 5 + b
5 = 8 + b atau b = 5 – 8 = -3

Jadi a + b = -2 + (-3) = -5. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 5

Translasi $\begin {bmatrix}m \\ n \end {bmatrix}$ memetakan titik P(-6, 7) ke titik P’ (-3, 11). Bayangan ΔABC dengan A(1, 2) ; B (4, 3) ; C (2, 6) oleh translasi T memiliki luas …
A. 11
B. 5,5
C. 18,5
D. 22
E. 24

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu nilai translasi m dan n dengan cara dibawah ini:

m = -3 – (-6) = 3
n = 11 – 7 = 4
Jadi translasinya adalah $\begin {bmatrix}3 \\ 4 \end {bmatrix}$

Selanjutnya menentukan A’, B’ dan C’ dengan cara dibawah ini.

A (1, 2) maka A’ (1 + 3 , 2 + 4) = A’ (4, 6)
B (4, 3) maka B’ (4 + 3, 3 + 4) = B’ (7, 7)
C (2, 6) maka C’ (2 + 3, 6 + 4) = C’ (5, 10)

Segitiga ΔA’B’C’ jika digambar sebagai berikut:

Translasi — Pembahasan soal translasi nomor 5

Maka luas segitiga A’B’C’ dihitung dengan cara dibawah ini:

L ΔA’B’C’ = Luas A’XYZ – Luas ΔA’XB’ – luas ΔB’YC’ – Luas ΔA’ZC’
L ΔA’B’C’ = (3 . 4) – (1/2 . 1 . 3) – (1/2 . 3 . 2) – 1/2 (1 . 4)
L ΔA’B’C’ = 12 – 1,5 – 3 – 2 = 5,5.

Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal refleksi

Contoh soal 1

Koordinat titip P (-3, 6) dicerminkan terhadap garis x = 5 maka koordinat bayangannya adalah …
A. P’ (2, 11)
B. P’ (2, 6)
C. P’ (13, 6)
D. P’ (8, 11)
E. P’ (11, 2)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui :

a = -3
b = 6
k = 5

Gunakan persamaan percerminan terhadap sumbu x = k sebagai berikut.

P’ (2k – a, b)
P’ (2 . 5 – (-3), 6)
P’ (10 + 3 , 6)
P’ (13, 6)

Contoh soal 2

Bayangan titik (4, -5) setelah dicerminkan terhadap garis y = -1 adalah …
A. (-6, -5)
B. (-4, -5)
C. (4, 4)
D. (4, 3)
E. (4, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

a = 4
b = -5
k = -1

Dengan menggunakan refleksi terhadap y = k diperoleh hasil sebagai berikut.

P’ (a, 2k – b)
P’ (4, 2 . (-1) – (-5))
P’ (4, -2 + 5)
P’ (4, 3)

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 3

Koordinat bayangan titik A (7, 8) yang dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dicerminkan terhadap sumbu X adalah …
A. (7, 8)
B. (-7, 8)
C. (7, -8)
D. (-7, -8)
E. (8, -7)

Pembahasan / penyelesaian soal

a = 7
b = 8
Refleksi terhadap sumbu Y = A’ (-a, b) = A’ (-7, 8)
a = -7
b = 8
Refleksi terhadap sumbu X = A’ (a, -b) = A’ (-7, – 8)

Jawaban D.

Contoh soal 4

Titik B (-4, 8) dicerminkan terhadap pusat koordinat menghasilkan bayangan (x’, y’). Nilai x’ + y’ = …
A. -12
B. -8
C. -4
D. 4
E. 8

Pembahasan / penyelesaian

Refleksi terhadap titik asal B’ (-a, -b) = B’ (- (-4), – 8) = B’ (4, -8). Jadi nilai x’ + y’ = 4 + (-8) = -4. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 5

Titik P'(4 , 6) adalah bayangan dari P(6 , 4) yang dicerminkan terhadap …
A. titik O
B. garis y = -x
C. garis y = x
D. sumbu y
E. sumbu x

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini perhatikan gambar dibawah.

Refleksi — Pembahasan soal refleksi nomor 5

Berdasarkan gambar diatas terlihat titik P'(4,6) diperoleh jika titik P(6,4) dicerminkan terhadap garis y = x. Jadi soal ini jawabannya C.

Contoh soal 6

Titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x = 2 menghasilkan bayangan A'(0 , 2) maka (a , b) adalah…
A. (0,-6)
B. (4,2)
C. (2,4)
D. (0,-4)
E. (2,-4)

Pembahasan/penyelesaian soal

Dengan menggunakan refleksi terhadap garis x = k diperoleh hasil sebagai berikut.

A’ (0, 2) = A’ (2k – a, b)
A’ (0, 2) = A’ (2. 2 – a, b)
2. 2 – a = 0 atau a = 2 . 2 = 4
b = 2

Jadi (a, b) = (4, 2). Soal ini jawabannya B.

Contoh soal rotasi

Contoh soal 1

Koordinat bayangan titik P (-5, 8) oleh rotasi 90^o adalah …
A. (5, 8)
B. (-5, 8)
C. (8, 5)
D. (5, -8)
E. (-5, -8)

Pembahasan / penyelesaian soal

x’ = x cos α – y sin α
x’ = -5 cos 90^o – 8 sin 90^o
x’ = -5 . 0 – 8 . 1 = – 8
y’ = x sin α + y cos α
y’ = -5 sin 90^o + 8 cos 90^o
y’ = -5 . 1 + 8 . 0 = -5

Jadi P’ (-8, -5)

Contoh soal 2

Diketahui ΔABC dengan A(4,6), B(8,0), C(0,9) diputar sejauh π radian berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0), maka bayangannya adalah ΔA’B’C’. Koordinat titik berat ΔA’B’C’ adalah…
A. (-5, -4)
B. (4, 5)
C. (-4, -5)
D. (-3, -4)
E. (3, 4)

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu hasil rotasi titik A, B, dan C (π = 180°):

Hasil rotasi titik A (4,6):

x’ = x cos 180 – y sin 180 = 4 . -1 – 6 . 0 = -4 – 0 = – 4.
y’ = x sin 180 + y cos 180 = 4 . 0 + 6 . – 1 = – 6

Hasil rotasi titik B (8,0):

x’ = x cos 180 – y sin 180 = 8 . -1 – 0 . 0 = – 8
y’ = x sin 180 + y cos 180 = 8 . 0 + 0 . 1 = 0

Hasil rotasi titik C (0,9):

x’ = x cos 180 – y sin 180 = 0 . – 1 – 9 . 0 = 0
y’ = x sin 180 + y cos 180 = 0 . 0 + 9 . – 1 = – 9

Jadi hasil rotasi ΔABC adalah A'(-4 , -6) ; B'(-8 , 0); C'(0 , -9). Koordinat titik berat segitiga A’B’C’ dihitung dengan rumus sebagai berikut:

→ X =

x1 + x2 + x3

→ X =

-4 + (-8) + 0

-12

= -4
→ X =

x1 + x2 + x3

→ Y =

y1 + y2 + y3

→ Y =

-6 + 0 + (-9)

-15

= -5

Jadi titik berat segitiga A’B’C’ adalah (-4 ; -5) atau jawaban C.

Contoh soal dilatasi

Contoh soal 1

Bayangan titik P (8, -4) oleh dilatasi (O, -2) adalah …
A. P’ (-4, 2)
B. P’ (4, -2)
C. P’ (-16, 8)
D. P’ (16, -8)
E. P’ (16, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

x = 8
y = -4
k = -2

Cara menjawab soal ini sebagai berikut.

x’ =k . x = -2 . 8 = -16
y’ = k . y = -2 . -4 = 8

Jadi P’ (-16, 8). Jawaban C.

Contoh soal 2

Diketahui titik P(12 , -5) dan A(-2 , 1). Bayangan titik P oleh dilatasi [A , 1/2] adalah…
A. P’ (3, -2)
B. P’ (5, 2)
C. P’ (5, -2)
D. P’ (-5, -2)
E. P’ (7, -2)

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

x = 12
y = -5
a = -2
b = 1
k = 1/2

Maka bayangan titik P oleh dilatasi [A, 1/2] sebagai berikut:

x’ = a + k (x – a)
x’ = -2 + 1/2 (12 – (-2)) = -2 + 7 = 5
y’ = b + k(y – b)
y’ = 1 + 1/2 (-5 – 1) = 1 + (-3) = -2

Jadi P'(5, -2) atau jawaban C.

Contoh soal 3

Diketahui titik P(6, -8) dan A(a , b). Bayangan titik P oleh dilatasi [A , 2] adalah P'(8, -6). Nilai a – b adalah…
A. 4
B. 6
C. 10
D. 14
E. 18

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui:

x = 6
y = -8
x’ = 8
y’ = -6
k = 2

Selanjutnya kita tentukan nilai a dan b dengan cara sebagai berikut:

x’ = a + k (x – a)
8 = a + 2 (6 – a)
8 = a + 12 – 2a
a = 12 – 8 = 4
y’ = b + k (y – b)
-6 = b + 2(-8 – b)
-6 = b – 16 – 2b
b = -16 + 6 = – 10

Jadi nilai a – b = 4 – (- 10) = 4 + 10 = 14. Soal ini jawabannya D.