Contoh soal diagonal bidang & diagonal ruang + pembahasan

Contoh saol diagonal bidang dan diagonal ruang pilihan ganda

Contoh soal 1

Balok dengan ukuran panjang 10 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 6 cm. Panjang diagonal ruangnya adalah …
A. 10 cm
B. 12 cm
C. √ 200   cm
D. √ 400   cm

Pembahasan

Diagonal ruang balok ditunjukkan oleh garis merah (AC) gambar dibawah ini.

Untuk menghitung AC, tentukan terlebih dahulu panjang AB (merupakan diagonal bidang alas balok) dengan cara menggunakan rumus pythagoras dibawah ini.

AB = √

(10 cm)² + (8 cm)²

AB = √

100 cm² + 64 cm²

AB = √

164 cm²

Kemudian hitung panjang AC dengan cara menggunakan rumus pythagoras dibawah ini.

AC = √

AB² + BC²

AC = √

( √ 164   cm)² + (6 cm)²

AC = √

164 cm² + 36 cm²

AC = √

200 cm²

= √ 200   cm

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 2

Diketahui panjang diagonal ruang sebuah kubus adalah 40√ 3   . Panjang diagonal bidangnya adalah …
A. 20√ 2  
B. 20√ 3  
C. 40
D. 40√ 2  

Pembahasan

Berdasarkan gambar diatas, untuk menentukan diagonal bidang (AB), hitung terlebih dahulu nilai s dengan cara menggunakan rumus pythagoras dibawah ini.

AC² = AB² + BC²
(40√

3

)² = (√

2s²

)² + s²
4.800 = 2s² + s² = 3s²
s² =

4.800

3

= 1.600
s = √

1.600

= 40

Jadi panjang diagonal bidang (AB) sebagai berikut.

AB = √

2s²

= √

2 . (40)²

AB = 40√

2

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 3

Diketahui panjang diagonal ruang kubus adalah √ 192   cm. Berapakah panjang rusuk kubus tersebut?.
A. 9 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm

Pembahasan

Berdasarkan gambar diatas, cara menghitung panjang rusuk (s) sebagai berikut.

AC² = AB² + BC²
(√

192

)² = (√

2s²

)² + s²
192 = 2s² + s² = 3s²
s² =

192

3

= 64
s = √

64

= 8

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal diagonal bidang dan diagonal ruang Essay

Contoh soal nomor 1

Perhatikan bangun berikut.

Jika diketahui panjang AB = BC = CG = 4 cm, JK = 3 cm, dan BJ = 1 cm, hitunglah panjang AC, AK, dan LG.

Pembahasan

• Panjang AC sebagai berikut.

AC = √

AB² + BC²

AC = √

(4 cm)² + (4 cm)²

AC = 2√

2

cm

• Panjang AK sebagai berikut.

AK = √

5² + 1²

AK = √

25 + 1

AK = √

26

cm

• Panjang LG = AK = √ 26   cm.

---

Contoh soal 2

Perhatikan bangun berikut.

Jika diketahui AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, hitunglah panjang AC, EG, DF, dan AG.

Pembahasan

• Panjang AC sebagai berikut.

AC = √

AB² + BC²

AC = √

(5 cm)² + (4 cm)²

AC = √

41

cm

• Panjang EG sebagai berikut.

EG = √

EF² + FG²

EG = √

(4 cm)² + (4 cm)²

EG = 4√

2

cm

Panjang DF sebagai berikut.

DF = √

(4 √ 2   cm)² + (4 cm)²

DF = √

32 cm² + 16 cm²

DF = √

48 cm²

= 4 √ 3   cm

• Panjang AG = DF = 4 √ 3   cm.

---

Contoh soal nomor 3

Dari gambar disamping, jika diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm dan EC = 5 √ 5   cm, berapakah luas segitiga AEC dan ABC.

Pembahasan

Panjang AC sebagai berikut.

AC = √

AB² + BC²

AC = √

(8 cm)² + (6 cm)²

AC = 10 cm

Panjang AE sebagai berikut.

AE = √

CE² + AC²

AE = √

(5 √ 5   cm)² – (10 cm)²

AE = √

125 cm² + 100 cm²

AE = √

25 cm²

= 5 cm

Luas segitiga AEC sebagai berikut.

• Luas AEC = 1/2 x AC x AE
• Luas AEC = 1/2 x 10 cm x 5 cm = 25 cm²

Luas segitiga ABC sebagai berikut.

• Luas ABC = 1/2 x AB x BC
• Luas ABC = 1/2 x 8 cm x 6 cm = 24 cm²

---

Contoh soal 4

Diketahui limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi seperti berikut.

Panjang BD = 12 √ 2   cm dan TO = 8 cm. Tentukan:
a. luas segitiga TBC
b. Volume limas T.ABCD

Pembahasan

Panjang AB = AD = BC sebagai berikut.

• BD² = AB² + AD² (AB = BD, karena persegi)
• BD² = AB² + AB²
• BD² = 2AB²
• BD = AB √ 2  
• 12 √ 2   = AB √ 2   
• AB = 12 cm

Hitung tinggi segitiga TBC.

TM = √

OT² + OM²

TM = √

(8 cm)² + (6 cm)²

TM = 10 cm

Luas segitiga TBC sebagai berikut.

• Luas TBC = 1/2 x BC x TM
• Luas TBC = 1/2 x 12 cm x 10 cm
• Luas TBC = 60 cm²

Volume limas T.ABCD sebagai berikut.

• Volume T.ABCD = 1/3 x Luas ABCD x OT
• Volume T.ABCD = 1/2 x (12 cm x 12 cm) x 8 cm
• Volume T.ABCD = 576 cm³

---

Contoh soal 5

Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut.

Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm dan BC = 12 cm. Berapakah ukuran kertas yang digunakan untuk membuat papan nama tersebut?.

Pembahasan

Panjang CF sebagai berikut.

CF = √

BF² + BC²

CF = √

(13 cm)² + (12 cm)²

CF = 5 cm

Ukuran kertas yang digunakan sebagai berikut.

• Ukuran kertas = 3 x Luas BCEF
• Ukuran kertas = 3 x BC x EF
• Ukuran kertas = 3 x 12 cm x 5 cm = 180 cm³