Postingan ini membahas contoh soal cosinus, sinus, tangen jumlah dan selisih dua sudut yang disertai pembahasannya atau penyelesaiannya. Rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut sebagai berikut:
- cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
- cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut sebagai berikut:
- sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
- sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut sebagai berikut:
tan (A + B) =tan (A – B) =
Contoh soal jumlah dan selisih dua sudut.
Contoh soal 1
Hitunglah dengan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut berikut:
- cos 195°
- cos 58° cos 13° + sin 58° sin 13°
Pembahasan / penyelesaian soal
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
cos 195° dipecah menjadi cos (150° + 45°) sehingga diketahui:
- A = 150°
- B = 45°
Sehingga didapat hasil:
cos 195° = cos (150° + 45°) = cos A cos B + sin A sin B
cos (150° + 45°) = cos 150° . cos 45° + sin 150° . sin 45°
cos (150° + 45°) = -1/2 √ 3 . 1/2 √ 2 + 1/2 . 1/2 √ 2
cos (150° + 45°) = – 1/4 √ 6 + 1/4 √ 2
cos 195° = 1/4 ( √ 2 – √ 6 )
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
cos (A – B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (58° – 13°) = cos 58° cos 13° – sin 58° sin 13°
cos 58° cos 13° – sin 58° sin 13° = cos 45° = 1/2 √ 2
Contoh soal 2
Hitunglah dengan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut berikut.
- sin 105°
- sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°
Pembahasan / penyelesaian soal
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
sin 105° = sin (150° – 45°)
sin (150° – 45°) = sin A cos B – cos A sin B
sin (150° – 45°) = sin 150° cos 45° – cos 150° sin 45°
sin (150° – 45°) = 1/2 . 1/2 √ 2 – (-1/2 √ 3 ) . 1/2 √ 2
sin 105° = 1/4 √ 2 + 1/4 √ 6
sin 105° = 1/4 ( √ 2 + √ 6 )
Cara lain menjawab soal ini sebagai berikut:
sin 105° = sin (60° + 45°)
sin (60° + 45°) = sin A cos B + cos A sin B
sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
sin (60° + 45°) = 1/2 √ 3 . 1/2 √ 2 + 1/2 . 1/2 √ 2
sin 105° = 1/4 √ 6 + 1/4 √ 2
sin 105° = 1/4 ( √ 2 + √ 6 )
Jawaban soal 2 sebagai berikut
sin (75° – 15°) = sin A cos B – cos A sin B
sin (75° – 15°) = sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°
sin (60°) = 1/2 √ 3
Contoh soal 3
Diketahui sin A = 3/5, cos B = 5/13, dan A dan B merupakan sudut lancip. Tentukan:
- tan (A + B)
- tan (A – B)
Pembahasan / penyelesaian soal
Untuk menjawab soal ini hitung terlebih dahulu tan A dan tan B dengan cara dibawah ini.
- Sin A = 3/5 maka tan A = 3/4 (tripel pythagoras 3, 4, 5).
- Cos B = 5/13 maka tan B = 12/5 (tripel pythagoras 5, 12, 13).
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
tan (A + B) =tan (A + B) =
tan (A + B) =
tan (A + B) = –
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
tan (A – B) =tan (A – B) =
tan (A – B) =
tan (A – B) = –
Contoh soal 4
Diketahui ∠ A dan ∠ B adalah sudut lancip. Jika cos A = 4/5 dan cos B = 24/25, tentukan:
- cos (A + B)
- sin (A – B)
Pembahasan / penyelesaian soal
Tentukan terlebih dahulu sin A dan sin B dengan cara berikut ini.
Jawaban soal 1 sebagai berikut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A + B) = 4/5 . 24/25 – 3/5 . 7/25
cos (A + B) = 96/125 – 21/125 = 75/125 = 3/5
Jawaban soal 2 sebagai berikut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin (A – B) = 3/5 . 24/25 – 4/5 . 7/25
sin (A – B) = 72/125 – 28/125 = 44/125
Contoh soal 5
Sederhanakanlah: tan (x + 45°) . tan (x – 45°).
Pembahasan / penyelesaian soal
tan (x + 45°) . tan (x – 45°) ==
=
Sumber soal:
Soedyarto, Nugroho. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Jakarta. 2009.