Lompat ke konten

8 Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva & pembahasan

  • oleh

Contoh soal luas daerah nomor 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu X adalah …
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
E. 12

Pembahasan

  • x3 – 6x2 + 8x = 0
  • x (x2 – 6x + 8) = 0
  • x (x – 4) (x – 2) = 0
  • x = 0 dan x = 4 dan x = 2
Grafik y = x^3 - 6x^2 + 8x
Grafik y = x3 – 6x2 + 8x

Luas daerah = U1 + U2
= \int_{0}^{2} (x^{3} - 6x^{2} + 8x) dx + (- \int_{2}^{4} (x^{3} - 6x^{2} + 8x) dx
= \left [ \frac {1} {4} x^{4}  - 2x^{3} + 4x^2 \right ]_{0}^{2}\left [ \frac {1} {4} x^{4}  - 2x^{3} + 4x^2 \right ]_{2}^{4}
= (1/4 . 24 – 2 . 23 + 4 . 22) – ((1/4 . 44 – 2 . 43 + 4 . 42) – 1/4 . 24 – 2 . 23 + 4 . 22))
= ((4 – 16 + 16) – 0) – ((64 – 128 + 64) – (4 – 16 + 16))
= 4 – (-4) = 4 + 4 = 8

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal luas daerah nomor 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x2 dan y = – x adalah …
A. 9/2
B. 7/2
C. 3
D. 5/2
E. 3/2

Pembahasan

  • -x = 2 – x2
  • x2 – x – 2 = 0
  • (x – 2) (x + 1) = 0
  • x = 2 dan x = -1
Grafik x^2 - x - 2
Grafik x2 – x – 2

Jadi luas daerah sebagai berikut.

= – \int_{-1}^{2} (x^{2} - x - 2) dx
= – (\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} - 2x \right ]_{-1}^{2})
= – (1/3 . 23 – 1/2 . 22 – 2 . 2) – (1/3 . (-1)3 – 1/2 . (-1)2 – 2 . -1)
= – (8/3 – 2 – 4) – (- 1/3 – 1/2) + 2)
= – (8/3 – 18/3) – ((-2 – 3 + 12)/6))
= – (- 10/3 – 7/6)
= (20 + 7)/6 = 27/6 = 9/2.

Soal ini jawabannya A.


Contoh soal luas daerah nomor 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 2x, sumbu X, dan garis X = 3 adalah …
A. 0
B. 1 1/3
C. 2 2/3
D. 8
E. 4

Pembahasan

Grafik y = -x^2 + 2x dan x = 3
Grafik y = -x2 + 2x dan garis x = 3

Luas daerah sebagai berikut.

= \int_{0}^{2} (-x^{2} + 2x) dx + (- \int_{2}^{3} (-x^{2} + 2x) dx)
= (\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x^2 \right ]_{0}^{2}) – (\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x^2 \right ]_{2}^{3})
= ((- 1/3 . 23 + 22) – 0)) – ((- 1/3 . 33 + 32) – (- 1/3 . 23 + 22))
= (- 8/3 + 4) – ((-9 + 9) – (- 8/3 + 4))
= (- 8/3 + 4) + (- 8/3 + 4)
= -2 (8/3) + 4 + 4 = 8 – 16/3
= 24/3 – 16/3 = 8/3.

Jawaban: –


Contoh soal luas daerah nomor 4

Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva nomor 3

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah …
A. 1/6
B. 5/6
C. 2/3
D. 3/2
E. 1

Pembahasan

  • x2 – 3x + 2 = 0
  • (x – 2) (x – 1) = 0
  • x = 2 dan x = 1

Jadi luas daerah yang diarsir sebagai berikut

= \int_{0}^{1} (x^{2} - 3x + 2) dx + (- \int_{1}^{2} (x^{2} - 3x + 2) dx)
= (\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {3} {2} x^{2} + 2x \right ]_{0}^{1}) – (\left [x^{3} - \frac {3} {2} x^{2} + 2x \right ]_{1}^{2})
= ((1/3 . 13 – 3/2 . 12 + 2 . 1) – 0) – ((1/3 . 23 – 3/2 . 22 + 2 . 2) – (1/3 . 13 – 3/2 . 12 + 2 . 1))
= (1/3 – 3/2 + 2) – ((8/3 – 6 + 4) – (1/3 – 3/2 + 2))
= (- 7/6 + 2) – ([8/3 – 2) – (- 7/6 + 2))
= (5/6) – (2/3 – 5/6)
= 5/6 +1/6 = 6/6 = 1

Soal ini jawabannya E.


Contoh soal luas daerah nomor 5

Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2 adalah …
A. 9
B. 27/8
C. 27/6
D. 9/6
E. 9/7

Pembahasan

  • x2 = x + 2
  • x2 – x – 2 = 0
  • (x – 2) (x + 1) = 0
  • x = 2 dan x = -1

Luas daerah sebagai berikut.

= – \int_{-1}^{2} (x^{2} - x - 2) dx
= – (\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} - 2x \right ]_{-1}^{2})
= – (1/3 . 23 -1/2 . 22 – 2 . 2) – (1/3 . (-1)3 – 1/2 . (-1)2 – 2 . -1)
= – (8/3 – 2 – 4) – (- 1/3 – 1/2) + 2)
= – (8/3 – 18/3) – (-2 – 3 + 12)/6))
= – (- 10/3 – 7/6)
= (20 + 7)/6 = 27/6.

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal luas daerah nomor 6

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4x dan y = 3 dari x = 1 sampai x = 2 adalah … satuan luas.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
E. 6 2/3

Pembahasan

Grafik y = 4x dibatasi oleh y = 3 dan x = 1 x = 2
Grafik y = 4x (merah)

Luas daerah yang diarsir sebagai berikut.

= \int_{1}^{2} (4x - 3) dx
= \left [2x^{2} - 3x \right ]_{1}^{2}
= (2 . 22 – 3 . 2) – (2 . 12 – 3 . 1)
= (8 – 6) – (-1) = 2 + 1 = 3

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal luas daerah nomor 7

Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y = 6x2 – x dan sumbu-x adalah …
A. 1/36 satuan luas
B. 1/72 satuan luas
C. 1/108 satuan luas
D. 1/216 satuan luas
E. 1/432 satuan luas

Pembahasan

  • 6x2 – x = 0
  • 6x (x – 1) = 0
  • x = 0 dan x = 1

Luas daerah sebagai berikut.

= \int_{0}^{1} (6x^{2} - x) dx
= \left [2x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} \right ]_{0}^{1}
= (2 . 13 – 1/2 . 12) – (0)
= 2 – 1/2 = 3/2

Jawaban: –


Contoh soal luas daerah nomor 8

Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva nomor 8

Luas daerah terbatas di bawah ini adalah …
A. 4/3
B. 10/3
C. 8/3
D. 2
E. 1

Pembahasan

= \int_{-1}^{1} (-x^{2} + 1) dx + (- \int_{1}^{2} (-x^{2} + 1) dx)
= \left [- \frac {1} {3} x^{3} + x \right ]_{-1}^{1} – (\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x \right ]_{1}^{2})
= (((- 1/3 . (1)3 + (1)) – (- 1/3 . (-1)3 + (-1))) – (((- 1/3 . (2)3 + 2) – (- 1/3 . (1)3 + (1)))
= (- 1/3 + 1 + 2/3) – ((- 8/3 + 2) – 2/3)
= 4/3 + 4/3 = 8/3

Soal ini jawabannya C.

You cannot copy content of this page