Lompat ke konten

8 Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva & pembahasan

Contoh soal luas daerah nomor 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu X adalah …
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
E. 12

Pembahasan

  • x3 – 6x2 + 8x = 0
  • x (x2 – 6x + 8) = 0
  • x (x – 4) (x – 2) = 0
  • x = 0 dan x = 4 dan x = 2
Grafik y = x^3 - 6x^2 + 8x
Grafik y = x3 – 6x2 + 8x

Luas daerah = U1 + U2
= \int_{0}^{2} (x^{3} - 6x^{2} + 8x) dx + (- \int_{2}^{4} (x^{3} - 6x^{2} + 8x) dx
= \left [ \frac {1} {4} x^{4} - 2x^{3} + 4x^2 \right ]_{0}^{2} – \left [ \frac {1} {4} x^{4} - 2x^{3} + 4x^2 \right ]_{2}^{4}
= (\frac {1} {4} 24 – 2 . 23 + 4 . 22) – ((\frac {1} {4} 44 – 2 . 43 + 4 . 42) – \frac {1} {4} 24 – 2 . 23 + 4 . 22))
= ((4 – 16 + 16) – 0) – ((64 – 128 + 64) – (4 – 16 + 16))
= 4 – (-4) = 4 + 4 = 8

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal luas daerah nomor 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x2 dan y = – x adalah …
A. \frac {9} {2}
B. \frac {7} {2}
C. 3
D. \frac {5} {2}
E. \frac {3} {2}

Pembahasan

  • -x = 2 – x2
  • x2 – x – 2 = 0
  • (x – 2) (x + 1) = 0
  • x = 2 dan x = -1
Grafik x^2 - x - 2
Grafik x2 – x – 2

Jadi luas daerah sebagai berikut.

= – \int_{-1}^{2} (x^{2} - x - 2) dx
= – (\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} - 2x \right ]_{-1}^{2})
= – (\frac {1} {3} 23 – \frac {1} {2} 22 – 2 . 2) – (\frac {1} {3} (-1)3 – \frac {1} {2} (-1)2 – 2 . -1)
= – (\frac {8} {3} – 2 – 4) – (- \frac {1} {3} – \frac {1} {2}) + 2)
= – (\frac {8} {3} – \frac {18} {3}) – (\frac {-2 - 3 + 12} {6}))
= – (- \frac {10} {3} – \frac {7} {6})
= \frac {20 + 7} {6} = \frac {27} {6} = \frac {9} {2}

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal luas daerah nomor 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 2x, sumbu X, dan garis X = 3 adalah …
A. 0
B. 1\frac {1} {3}
C. 2\frac {2} {3}
D. 8
E. 4

Pembahasan

Grafik y = -x^2 + 2x dan x = 3
Grafik y = -x2 + 2x dan garis x = 3

Luas daerah sebagai berikut.

= \int_{0}^{2} (-x^{2} + 2x) dx + (- \int_{2}^{3} (-x^{2} + 2x) dx)
= (\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x^2 \right ]_{0}^{2}) – (\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x^2 \right ]_{2}^{3})
= ((- \frac {1} {3} 23 + 22) – 0)) – ((- \frac {1} {3} 33 + 32) – (- \frac {1} {3} 23 + 22))
= (- \frac {8} {3} + 4) – ((-9 + 9) – (- \frac {8} {3} + 4))
= (- \frac {8} {3} + 4) + (- \frac {8} {3} + 4)
= -2 (\frac {8} {3}) + 4 + 4 = 8 – \frac {16} {3}
= \frac {24} {3} – \frac {16} {3} = \frac {8} {3}

Jawaban: –

Contoh soal luas daerah nomor 4

Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva nomor 3

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah …
A. \frac {1} {6}
B. \frac {5} {6}
C. \frac {2} {3}
D. \frac {3} {2}
E. 1

Pembahasan

  • x2 – 3x + 2 = 0
  • (x – 2) (x – 1) = 0
  • x = 2 dan x = 1

Jadi luas daerah yang diarsir sebagai berikut

= \int_{0}^{1} (x^{2} - 3x + 2) dx + (- \int_{1}^{2} (x^{2} - 3x + 2) dx)
= (\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {3} {2} x^{2} + 2x \right ]_{0}^{1}) – (\left [x^{3} - \frac {3} {2} x^{2} + 2x \right ]_{1}^{2})
= ((\frac {1} {3} 13 – \frac {3} {2} 12 + 2 . 1) – 0) – ((\frac {1} {3} 23 – \frac {3} {2} 22 + 2 . 2) – (\frac {1} {3} 13 – \frac {3} {2} 12 + 2 . 1))
= (\frac {1} {3} – \frac {3} {2} + 2) – ((\frac {8} {3} – 6 + 4) – (\frac {1} {3} – \frac {3} {2} + 2))
= (- \frac {7} {6} + 2) – (\frac {8} {3} – 2) – (- \frac {7} {6} + 2))
= (\frac {5} {6}) – (\frac {2} {3} – \frac {5} {6})
= \frac {5} {6} + \frac {1} {6} = \frac {6} {6} = 1

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal luas daerah nomor 5

Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2 adalah …
A. 9
B. \frac {27} {8}
C. \frac {27} {6}
D. \frac {9} {6}
E. \frac {9} {7}

Pembahasan

  • x2 = x + 2
  • x2 – x – 2 = 0
  • (x – 2) (x + 1) = 0
  • x = 2 dan x = -1

Luas daerah sebagai berikut.

= – \int_{-1}^{2} (x^{2} - x - 2) dx
= – (\left [\frac {1} {3} x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} - 2x \right ]_{-1}^{2})
= – (\frac {1} {3} 23 – \frac {1} {2} 22 – 2 . 2) – (\frac {1} {3} (-1)3 – \frac {1} {2} (-1)2 – 2 . -1)
= – (\frac {8} {3} – 2 – 4) – (- \frac {1} {3} – \frac {1} {2}) + 2)
= – (\frac {8} {3} – \frac {18} {3}) – (\frac {-2 - 3 + 12} {6}))
= – (- \frac {10} {3} – \frac {7} {6})
= \frac {20 + 7} {6} = \frac {27} {6}

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal luas daerah nomor 6

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4x dan y = 3 dari x = 1 sampai x = 2 adalah … satuan luas.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
E. 6\frac {2} {3}

Pembahasan

Grafik y = 4x dibatasi oleh y = 3 dan x = 1 x = 2
Grafik y = 4x (merah)

Luas daerah yang diarsir sebagai berikut.

= \int_{1}^{2} (4x - 3) dx
= \left [2x^{2} - 3x \right ]_{1}^{2}
= (2 . 22 – 3 . 2) – (2 . 12 – 3 . 1)
= (8 – 6) – (-1) = 2 + 1 = 3

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal luas daerah nomor 7

Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y = 6x2 – x dan sumbu-x adalah …
A. \frac {1} {36} satuan luas
B. \frac {1} {72} satuan luas
C. \frac {1} {108} satuan luas
D. \frac {1} {216} satuan luas
E. \frac {1} {432} satuan luas

Pembahasan

  • 6x2 – x = 0
  • 6x (x – 1) = 0
  • x = 0 dan x = 1

Luas daerah sebagai berikut.

= \int_{0}^{1} (6x^{2} - x) dx
= \left [2x^{3} - \frac {1} {2} x^{2} \right ]_{0}^{1}
= (2 . 13 – \frac {1} {2} . 12) – (0)
= 2 – \frac {1} {2} = \frac {3} {2}

Jawaban: –

Contoh soal luas daerah nomor 8

Contoh soal luas daerah yang dibatasi kurva nomor 8

Luas daerah terbatas di bawah ini adalah …
A. \frac {4} {3}
B. \frac {10} {3}
C. \frac {8} {3}
D. 2
E. 1

Pembahasan

= \int_{-1}^{1} (-x^{2} + 1) dx + (- \int_{1}^{2} (-x^{2} + 1) dx)
= \left [- \frac {1} {3} x^{3} + x \right ]_{-1}^{1} – (\left [- \frac {1} {3} x^{3} + x \right ]_{1}^{2})
= (((- \frac {1} {3} . (1)3 + (1)) – (- \frac {1} {3} . (-1)3 + (-1))) – (((- \frac {1} {3} . (2)3 + 2) – (- \frac {1} {3} . (1)3 + (1)))
= (- \frac {1} {3} + 1 + \frac {2} {3}) – ((- \frac {8} {3} + 2) – \frac {2} {3})
= \frac {4} {3} + \frac {4} {3} = \frac {8} {3}

Soal ini jawabannya C.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *