7 Contoh soal komposisi transformasi dan pembahasan

Contoh soal komposisi transformasi nomor 1

Jika suatu translasi $\begin {bmatrix} 5 \\ 6 \end {bmatrix}$ dilanjutkan $\begin {bmatrix} a \\ b \end {bmatrix}$ menghasilkan $\begin {bmatrix} -2 \\ 8 \end {bmatrix}$ maka a dan b adalah …
A. -7 dan 2
B. 3 dan 14
C. 3 dan 2
D. 7 dan 14
E. 7 dan -14

Pembahasan

Pada soal ini diketahui:

T = $\begin {bmatrix} 5 + a \\ 6 + b \end {bmatrix}$
T₁ o T₂ (x, y) = (-2, 8)

Cara menentukan nilai a dan b sebagai berikut.

T₁ o T₂ (x, y) = (-2, 8)
5 + a = -2 atau a = -2 – 5 = -7
6 + b = 8 atau b = 8 – 6 = 2

Jadi a = -7 dan b = 2. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal komposisi transformasi nomor 2

Titik T(1, 3) ditranslasikan dengan $\begin {bmatrix} a \\ 5 \end {bmatrix}$ dan diteruskan dengan $\begin {bmatrix} 2 \\ b \end {bmatrix}$ . Jika bayangannya T’ (4, 5) maka nilai a dan b adalah …
A. 1 dan -3
B. 1 dan 3
C. 1 dan 2
D. -1 dan -2
E. -1 dan 3

Pembahasan

Pada soal ini diketahui:

T = $\begin {bmatrix} a + 2 \\ 5 + b \end {bmatrix}$
T₁ o T₂ (x, y) = (4, 5)

Cara menentukan nilai a dan b sebagai berikut.

(x, y) = (1, 3)
T₁ o T₂ (x, y) = (4, 5)
a + 2 + x = 4
a + 2 + 1 = 4 atau a = 4 – 3 = 1
5 + b + y = 5
5 + b + 3 = 5 atau b = 5 – 8 = -3

Jadi a = 1 dan b = -3. Soal ini jawabannya A.

Contoh soal komposisi transformasi nomor 3

Koordinat bayangan dari titik A(-1, 6) yang dicerminkan terhadap garis x = 1 dilanjutkan terhadap garis x = 4 adalah …
A. (1, 12)
B. (5, 6)
C. (5, 10)
D. (6, 5)
E. (12, 1)

Pembahasan

Hasil percerminan terhadap garis x = 1 sebagai berikut.

A'(2k – a, b)
A'(2 . 1 – (-1), 6)
A'(2 + 1, 6) = A'(3, 6)

Hasil pencerminan terhadap garis x = 4 sebagai berikut.

A”(2k – a, b)
A”(2 . 4 – 3, 6)
A”(8 – 3, 6) = A”(5, 6)

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal komposisi transformasi nomor 4

Bayangan titik Q(-2, -4) oleh komposisi rotasi R_15° o R_45° adalah Q’ yang memiliki koordinat …
A. (-1 + 2 √ 3 , √ 3 – 2)
B. (1 – 2 √ 3 , 2 – √ 3 )
C. (-1 – 2 √ 3 , √ 3 – 2)
D. (-1 + 2 √ 3 , – √ 3 – 2)
E. (1 + 2 √ 3 , – √ 3 + 2)

Pembahasan

x” = x cos (α₁ + α₂) – y sin (α₁ + α₂)
x” = -2 cos (15° + 45°) – (-4) sin (15° + 45°)
x” = -2 cos 60° + 4 sin 60°
x” = -2 1/2 + 4 1/2 √ 3
x” = -1 + 2 √ 3
y” = x sin (α₁ + α₂) + y cos (α₁ + α₂)
y” = -2 sin (15° + 45°) + (-4) cos (15° + 45°)
y” = -2 sin 60° – 4 cos 60°
y” = -2 . 1/2 √ 3 – 4 . 1/2
y” = – √ 3 – 2

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal komposisi transformasi nomor 5

Titik (4, 8) dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan rotasi (O, 60°). Hasilnya adalah …
A. (-4 + 4 √ 3 , 4 – 4 √ 3 )
B. (-4 + 4 √ 3 , -4 – 4 √ 3 )
C. (4 – 4 √ 3 , – 4 – 4 √ 3 )
D. (4 – 4 √ 3 , 4 + 4 √ 3 )
E. (4 + 4 √ 3 , -4 + 4 √ 3 )

Pembahasan

Hasil pencerminan terhadap garis x = 6 sebagai berikut.

A'(2k – a, b)
A'(2 . 6 – 4, 8)
A'(8, 8)

Hasil rotasi (O, 60°) sebagai berikut.

x” = x cos α – y sin α
x” = 8 cos 60° – 8 sin 60°
x” = 8 . 1/2 – 8 . 1/2 √ 3
x” = 4 – 4 √ 3
y” = x sin α + y cos α
y” = 8 sin 60° + 8 cos 60°
y” = 8 . 1/2 √ 3 + 8 . 1/2
y” = 4 √ 3 + 4

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal komposisi transformasi nomor 6

Titik B(-2, 6) dirotasikan -90° dengan pusat O(0,0) dilanjutkan dengan translasi $\begin {bmatrix} a \\ b \end {bmatrix}$ sehingga diperoleh bayangan B'(6, -2). Nilai ab = …
A. -4
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3

Pembahasan

x’ = x cos (-90°) – y sin (-90°)
x’ = -2 cos 90° + 6 sin 90°
x’ = 0 + 6 = 6
y’ = x sin (-90°) + y cos (-90°)
y’ = -2 . – 1 + 6 . 0 = 2

Cara menentukan a dan b sebagai berikut.

x” = 6
6 + a = 6 atau a = 6 – 6 = 0
y” = -2
2 + b = -2 atau b = -2 – 2 = -4

Jadi ab = 0 . -4 = 0. Soal ini jawabannya B.

Contoh soal komposisi transformasi nomor 7

Persamaan bayangan garis y = x + 1 jika dirotasikan dengan pusat O(0,0) sebesar 180° berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan dengan percerminan terhadap sumbu Y adalah …
A. x – y – 1 = 0
B. x – y = 0
C. x + y = 0
D. x + y – 1 = 0
E. x + y + 1 = 0

Pembahasan

Hasil rotasi sebesar 180° sebagai berikut.

x’ = x cos (180°) – y sin (180°)
x’ = x . -1 + y . 0
x’ = -x
y’ = x sin (180°) + y cos (180°)
y’ = x . 0 + y . -1
y’ = -y

Hasil pencerminan terhadap sumbu Y sebagai berikut.

P”(-a, b)
P”(- (-x), -y)
P”(x, -y)

Jadi,

x” = x
y” = -y

Jadi persamaan bayangannya adalah -y = x + 1 atau x + y + 1 = 0. Soal ini jawabannya E.