Lompat ke konten

6 Contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel [SPLTV] dan pembahasan

  • oleh

Contoh soal SPLTV nomor 1

Perhatikan sistem persamaan linear berikut.
4x + y + 3z = 10
6x – 5y – 2z = 2
5x + 3y + 7z = 13
Nilai x + y + z = …
A. 7
B. 5
C. 3
D. 2
E. 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Eliminasi (y) persamaan 1 dan 2
4x + y + 3z = 10 → x 5
6x – 5y – 2z = 2 → x 1
20x + 5y + 15z = 50
6x – 5y – 2z = 2 (+)
26x + 13z = 52 …(pers. 3)

Eliminasi (y) persamaan 1 dan 3
4x + y + 3z = 10 → x 3
5x + 3y + 7z = 13 → x 1
12x + 3y + 9z = 30
5x + 3y + 7z = 13 (-)
7x + 2z = 17 … (pers. 4)

Eliminasi (z) persamaan 3 dan 4
26x + 13z = 52 → x 2
7x + 2z = 17 → x 13
52x + 26z = 104
91x + 26z = 221 (-)
-39x = – 117

→ x =
-117
-39
= 3
Subtitusi x = 3 ke persamaan 4 sehingga didapat 7x + 2z = 17 → 7 . 3 + 2z = 17 atau 2z = 17 – 21 = -4 maka z = -4/2 = -2.
Subtitusi x = 3 dan z = -2 ke persamaan pertama sehingga didapat 4x + y + 3z = 10 → 4 . 3 + y + 3 . (-2) = 10 atau y + 6 = 10 maka y = 10 – 6 = 4.

x + y + z = 3 + 4 – 2 = 5. Soal ini jawabannya B.


Contoh soal SPLTV nomor 2

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear.

Contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel

adalah …
A. {(2, 1, 6)}
B. {(2, 6, 1)}
C. {(1, 6, 2)}
D. {(1, 2, 6)}
E. {(6, 1, 2)}

Pembahasan / penyelesaian soal

Eliminasi (y) persamaan 1 dan 2
x – y + z = 5
-2x + y + z = 6 (+)
-x + 2z = 11 …(pers. 3)

Eliminasi (y) persamaan 1 dan 3
x – y + z = 5 → x 2
3x – 2y + 2z = 11 → x 1
2x – 2y + 2z = 10
3x – 2y + 2z = 11 (-)
-x = – 1

→ x = 1
Subtitusi x = 1 ke persamaan 3 sehingga didapat -x + 2z = 11 → -1 + 2z = 11 atau 2z = 2 maka z = 12/2 = 6.
Subtitusi x = 1 dan z = 6 ke persamaan 1 sehingga didapat x – y + z = 5 → 1 – y + 6 = 5 atau y = 7 – 5 maka y = 2.

Himpunan penyelesaian = {(x, y, z)} = {(1, 2, 6)}. Soal ini jawabannya D.


Contoh soal SPLTV nomor 3

Diberikan tiga persamaan dibawah ini

  • x – 2y + 3z = 1
  • 2x – y + z = -3
  • 3x + 3y + 8z = 2

Tentukan nilai dari x + y + z.

Pembahasan / penyelesaian soal

Eliminasi persamaan 1 dan 2
x – 2y + 3z = 1 → x 2
2x – y + z = -3 → x 1
2x – 4y + 6z = 2
2x – y + z = -3 (-)
-3y + 5z = 5 …(pers. 3)

Eliminasi persamaan 1 dan 3
x – 2y + 3z = 1 → x3
3x + 3y + 8z = 2 → x 1
3x – 6y + 9z = 3
3x + 3y + 8z = 2 (-)
– 9y + z = 1 … (pers. 4)

Eliminasi persamaan 3 dan 4
-3y + 5z = 5 → x 3
– 9y + z = 1 → x 1
-9y + 15z = 15
– 9y + z = 1 (-)
14 z = 14

→ z =
14
14
= 1
Subtitusi z = 1 ke persamaan 4 sehingga didapat -9 y + 1 = 1 atau – 9y = 0 maka y = 0.
Subtitusi y = 0 dan z = 1 ke persamaan pertama sehingga didapat x – 2 . 0 + 3 . 1 = 1 atau x + 3 = 1 maka x = -2.

Jadi nilai dari x + y + z = -2 + 0 + 1 = -1.


Contoh soal SPLTV nomor 4

Budi, Sri, Wati dan Anton pergi ke toko buku yang sama. Budi membeli 3 buku dan 2 penghapus seharga Rp 15.500,00. Sri membeli 4 buku, 1 penghapus dan 1 pensil dengan harga Rp. 20.500,00. Wati membeli 2 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Jika Anton membeli 1 buku, 1 penghapus dan 1 pensil, hitunglah uang yang harus dibayar Anton.

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita buat pemisalan sebagai berikut:

  • x = buku
  • y = penghapus
  • z = pensil

Jadi kita peroleh 3 persamaan sebagai berikut:

  • 3x + 2y = 15.500 (Budi)
  • 4x + y + z = 20.500 (Sri)
  • 2x + z = 11.000 (Wati)

Uang yang harus dibayar Anton = x + y + z = …

Selanjutnya kita gunakan metode subtitusi sebagai berikut:

Dari persamaan 3 kita peroleh 2x + z = 11.000 maka z = 11.000 – 2x. Selanjutnya subtitusi z ke persamaan 2 sehingga diperoleh:
4x + y + 11.000 – 2x = 20.500
2x + y = 20.500 – 11.000
2x + y = 9.500 …(pers 5)
Eliminasi persamaan 1 dan 5
3x + 2y = 15.500 → x 1
2x + y = 9.500 → x 2
3x + 2y = 15.500
4x + 2y = 19.000 (-)
x = 3.500

Subtitusi x = 3500 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:
3 . 3.500 + 2 . y = 15.500 atau 10.500 + 2 . y = 15.500 atau 2x = 15.500 – 10.500 = 5000
y = 5000 / 2 = 2.500
Subtitusi x = 3.500 ke persamaan 3 sehingga 2 . 3.500 + z = 11.000 maka z = 11.000 – 7000 = 4.000.

Jadi x + y + z = 3500 + 2500 + 4.000 = 10.000. Jadi Anton harus membayar uang sejumlah Rp 10.000,00.


Contoh soal SPLTV nomor 5

Selesaikan sistem persamaan yang diketahui dan tentukan nilai yang dicari.
x + 2y = -4
2x + z = 5
y – 3z = -6
Tentukan nilai x, y, z.

Pembahasan/penyelesaian soal

Eliminasi (x) persamaan 1 dan 2.

  • x + 2y = -4 (x 2)
  • 2x + z = 5 (x 1)
  • ________________
  • 2x + 4y = -8
  • 2x + z = 5
  • ______________-
  • 4y – z = -13 … (pers. 4)

Eliminasi (z) pada persamaan 3 dan 4

  • y – 3z = -6 (x 1)
  • 4y – z = -13 (x 3)
  • _________________
  • y – 3z = -6
  • 12y – 3z = -39
  • ________________-
  • -11y = 33
  • y = 33 : -11 = -3

Subtitusi y = -3 ke persamaan 4.

  • 4y – z = -13
  • 4 . (-3) – z = -13
  • -12 – z = -13
  • z = -12 + 13 = 1

Subtitusi y = -3 ke persamaan 1.

  • x + 2y = -4
  • x + 2 (-3) = -4
  • x – 6 = -4
  • x = -4 + 6 = 2

Jadi x = 2, y = -3 dan z = 1.


Contoh soal SPLTV nomor 6

Sebuah pabrik lensa memiliki 3 buah mesin, yaitu A, B, dan C. Jika ketiganya bekerja maka 5.700 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan B yang bekerja, maka 3.400 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan C yang bekerja, maka 4.200 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Berapa banyak lensa yang dihasilkan tiap-tiap mesin dalam satu minggu?

Pembahasan / penyelesaian soal

Sistem persamaan linear soal di atas sebagai berikut.

  1. A + B + C = 5.700
  2. A + B = 3.400
  3. A + C = 4.200

Subtitusi persamaan 2 ke persamaan 1.

  • A + B + C = 5.700
  • (A + B) + C = 5.700
  • 3.400 + C = 5.700
  • C = 5.700 – 3.400 = 2.300

Subtitusi persamaan 3 ke persamaan 1

  • A + B + C = 5.700
  • (A + C) + B = 5.700
  • 4.200 + B = 5.700
  • B = 5.700 – 4.200 = 1.500

Subtitusi B = 1.500 dan C = 2.300 ke persamaan 1

  • A + B + C = 5.700
  • A + 1.500 + 2.300 = 5.700
  • A + 3.800 = 5.700
  • A = 5.700 – 3.800 = 1.900

Jadi mesin A menghasilkan 1.900 lensa, mesin B = 1.500 lensa dan mesin C = 2.300 lensa setiap satu minggu.

You cannot copy content of this page