5 contoh soal garis normal dan pembahasannya

Postingan ini membahas contoh soal garis normal dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Lalu apa itu garis normal ?. Garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung pada titik singgung. Misalkan diketahui sebuah kurva dengan persamaan y = f(x) dan titik singgung [x₀, f(x₀)]. Karena garis normal tegak lurus garis singgung, maka hasil kali gradien garis singgung dengan gradien garis normal sama dengan -1 atau m_singgung . m_normal = -1 atau m_normal = – 1/m_singgung = – 1/f'(x₀).

Rumus garis normal yang melalui titik singgung [x₀, f(x₀)] sebagai berikut.

y – f(x₀) = –

f'(x₀)

[x – x₀]

Contoh soal garis normal

Contoh soal 1

Persamaan garis normal kurva f(x) = x² – 4x + 6 pada titik (3, 2) adalah …
A. 2y + x – 9 = 0
B. 2y + x + 3 = 0
C. 2y – x – 3 = 0
D. y + 2x + 9 = 0
E. y + 2x + 6 = 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui :

x₀ = 3
f(x₀) = 3² – 4 . 3 + 6 = 3
f(x) = x_² – 4x + 6 atau f'(x) = 2x – 4
m_normal = – 1/f'(x) = – 1/f'(3) = – 1/ (2 . 3 – 4) = – 1/2

Maka persamaan garis normal gunakan rumus dibawah ini.

y – f(x₀) = –

f'(x₀)

[x – x₀]
y – 3 = –

(x – 3)
-2y + 6 = x – 3
2y + x – 9 = 0

Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 2

Persamaan garis normal dari kurva y = ∛ 8 pada titik (8, 2) adalah…
A. 3y – 2x + 10 = 0
B. 3y + 4x – 38 = 0
C. 6y – x + 4 = 0
D. 12y – x – 16 = 0
E. y + 12x – 98 = 0

Pembahasan / penyelesaian soal

x₀ = 8
y(x₀) = ∛ 8 = 2
y = ∛ 8 = x^1/3 maka y’ = 1/3x^-2/3
m_normal = – 1/y'(8) = – 1/ (1/3 . 8^-2/3) = – 4/3

Cara menentukan garis normal sebagai berikut.

y – y(x₀) = –

y'(x₀)

[x – x₀]
y – 2 = –

(x – 8)
-3y + 6 = 4x – 32
3y + 4x – 38 = 0

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Gradien garis normal kurva f(x) = x² + 2x + 5 pada titik singgung (1, 8) adalah …
A. 4
B. 2
C. 1
D. 0,25
E. -0,25

Pembahasan / penyelesaian soal

x₀ = 1
f(x) = x²+ 2x + 5 maka f'(x) = 2x + 2
m_normal = – 1/f'(1)
m_normal = – 1/(2 . 1 + 2) = – 1/4 = -0,25

Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 4

Kurva y = 2x² – 3x + 3 bersinggungan dengan garis y = 5x – 5. Persamaan garis normalnya adalah…
A. 5x – y = 0
B. x – 5y – 1 = 0
C. x + 5y – 1 = 0
D. x – 5y + 23 = 0
E. x + 5y – 27 = 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Garis y = 5x – 5 maka gradiennya = 5 atau m_normal = 5
y = 2x² – 3x + 3 maka y’ = 4x – 3
5 = 4x – 3 atau 4x = 5 + 3 sehingga x = 8/4 = 2
y = 2x² – 3x + 3 atau y = 2 . 2² – 3 . 2 + 3 = 5
Jadi titik singgung = (2, 5)

Selanjutnya menentukan persamaan garis norma dengan cara dibawah ini.

y – y(x₀) = –

y'(x₀)

[x – x₀]
y – 5 = –

(x – 2)
-5y + 25 = x – 2
x + 5y – 27 = 0

Jadi soal ini jawabannya E.

Contoh soal 5

Diketahui kurva y = 3x² – 2x + 4 dan garis normalnya adalah x + 4y – 21 = 0. Persamaan garis singgungnya yang bersesuaian adalah …
A. y = 4x – 1
B. y = 4x + 1
C. y = 1/4 x + 4 1/4
D. y = – 1/4 x – 4 1/4
E. y = -4x + 9

Pembahasan / penyelesaian soal

x + 4y – 21 = 0 atau y = – 1/4 x + 21/4
m_normal = 4
y = 3x² – 2x + 4 atau y’ = 6x – 2
4 = 6x – 2 diperoleh 6x = 6 atau x = 1
y = 3x² – 2x + 4 = 3 . 1² – 2 . 1 + 4 = 5
Titik singgung = (1, 5)

Maka persamaan garis singgung ditentukan dengan cara dibawah ini.

y – y₁ = m_normal (x – x₁)
y – 5 = 4 (x – 1)
y – 5 = 4x – 4
y = 4x – 4 + 5
y = 4x + 1

Jadi soal ini jawabannya B.