20 Contoh soal bilangan kompleks dan pembahasannya

Contoh soal bilangan kompleks nomor 1

Tentukan bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks berikut.
a. 2 + $\sqrt [4] {(-2)^2}$
b. 2 + i²
c. 1 + $\sqrt {-9}$
d. 1 + 2i

Pembahasan

a. 2 + $\sqrt [4] {(-2)^2}$ = 2 + $\sqrt [4] {2^2}$ = 2 + 2^2/4= 2 + $\sqrt {2}$ + 0i. Jadi bagian real = 2 + $\sqrt {2}$ dan bagian imajiner = 0.
b. 2 + i² = 2 + (-1) = 1 + 0i. Jadi bagian real = 1 dan bagian imajiner = 0.
c. bagian real = 1 dan bagian imajiner = $\sqrt {9}$ = 3
d. bagian real = 1 dan bagian imajiner = 2

Contoh soal bilangan kompleks nomor 2

Gambarlah bilangan kompleks berikut pada bidang kompleks.
a. z₁ = 3 + 2i
b. z₂ = -1 – i
c. z₃ = 2

Pembahasan

Contoh soal bilangan kompleks nomor 3

Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks berikut.
a. 1 + $\sqrt {3}$ i
b. -i

Pembahasan

Jawaban (a)
r = $\sqrt {1^{2} + (\sqrt {3})^2}$ = 2
sin θ = $\frac {x} {r}$ = $\frac {1} {2}$ = sin 30^o
cos θ = $\frac {y} {r}$ = $\frac {\sqrt {3}} {2}$ = $\frac {1} {2} \sqrt {3}$ = cos 30^o
z = r (cos θ + i sin θ) = 2 (cos 30^o + i sin 30^o)

Jawaban (b)
r = $\sqrt {0^{2} + (-1)^2}$ = 1
sin θ = $\frac {x} {r}$ = $\frac {0} {1}$ = 0 = sin 180^o
cos θ = $\frac {y} {r}$ = $\frac {-1} {1}$ = -1 = cos 180^o
z = r (cos θ + i sin θ) = cos 180^o + i sin 180^o)

Contoh soal bilangan kompleks nomor 4

Tentukan bentuk eksponen dari bilangan kompleks berikut.
a. z = (cos 30^o + i sin 30^o)
b. z = $\frac {cos 15^{o} + i sin 15^o} {2}$

Pembahasan

e^iθ = (cos θ + i sin θ)
a. z = (cos 30^o + i sin 30^o) = e^{i30^o}
b. z = $\frac {cos 15^{o} + i sin 15^o} {2}$ = $\frac {1} {2}$ e^{i15^o}

Contoh soal bilangan kompleks nomor 5

Tentukan apakah setiap bilangan kompleks berikut sama atau berbeda.
a. z₁ = 4 – (-2i) dan z₂ = 4 + 2i
b. z₁ = i dan z₂ = 1 – i
c. z₁ = -1 + i dan z₂ = i + 1

Pembahasan

a. z₁ = 4 – (-2i) = 4 + 2i. Jadi z₁ = z₂.
b. z₁ berbeda dengan z₂
c. z₁ berbeda dengan z₂

Contoh soal bilangan kompleks nomor 6

Nyatakan bilangan kompleks 2 + 2i dalam bentuk polar dan eksponen

Pembahasan

Bentuk polar:
r = $\sqrt {2^{2} + 2^2}$ = 2 $\sqrt {2}$
cos θ = $\frac {x} {r}$ = $\frac {2} {2\sqrt {2}}$ = $\frac {1} {2} \sqrt {2}$ = cos 45^o
sin θ = $\frac {x} {r}$ = $\frac {2} {2\sqrt {2}}$ = $\frac {1} {2} \sqrt {2}$ = sin 45^o
z = 2 $\sqrt {2}$ (cos 45^o + i sin 45^o)
Bentuk eksponen = 2 $\sqrt {2}$ e^{i45^o}

Contoh soal bilangan kompleks nomor 7

Tentukan bilangan x dan y dengan z₁ = x + 3i dan z₂ = 3 – yi agar z₁ = z₂.

Pembahasan

z₁ = z₂
x + 3i = 3 – yi
x = 3
y = -3

Contoh soal bilangan kompleks nomor 8

Jika diberikan bilangan kompleks z₁ = 2 + 3i dan z₂ = 1 – i. Tentukan z₁ + z₂. Jika z₃ = z₁ + z₂, bagaimana bentuk dari z₃ + z₁ ?

Pembahasan

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (1 – i) = (2 + 1) + (3i – i) = 3 + 2i
z₃ + z₁ = (z₁ + z₂) + z₁ = (3 + 2i) + (2 + 3i) = (3 + 2) + (2i + 3i) = 5 + 5i

Contoh soal bilangan kompleks nomor 9

Diberikan z₁ = -2 – 4i dan z₂ = -8 + 6i. Tentukan 3z₁ dan 3z₁ – 2z₂.

Pembahasan

3z₁ = 3 (-2 – 4i) = -6 – 12i
3z₁ – 2z₂ = (-6 – 12i) – 2 (-8 + 6i) = (-6 – 12i) + 16 – 12i = 10 – 24i

Contoh soal bilangan kompleks nomor 10

Buktikan bahwa 3z – $\frac {1} {2}$ (2z) = 2z untuk sembarang bilangan kompleks z.

Pembahasan

3z – $\frac {1} {2}$ (2z) = 3z – z = 2z (terbukti)

Contoh soal bilangan kompleks nomor 11

Misalkan diberikan bilangan kompleks z₁ = 1 + i dan z₂ = $\frac {1} {2}$ – 2i, maka tentukanlah z₁ x z₂.

Pembahasan

z₁ x z₂ = (1 + i) x ( $\frac {1} {2}$ – 2i)
= 1 x ( $\frac {1} {2}$ – 2i) + i ( $\frac {1} {2}$ – 2i)
= $\frac {1} {2}$ – 2i + $\frac {1} {2}$ i – 2i²
= $\frac {1} {2}$ – $\frac {3} {2}$ i – 2 (-1) = $\frac {5} {2}$ – $\frac {3} {2}$ i

Contoh soal bilangan kompleks nomor 12

Buktikan bahwa (z₁ – z₂)² = z₁² – 2z₁z₂ + z₂².

Pembahasan

(z₁ – z₂)² = (z₁ – z₂) x (z₁ – z₂)
= z₁ (z₁ – z₂) – z₂ (z₁ – z₂)
= z₁² – z₁z₂ – z₁z₂ + z₂²
= z₁² – 2z₁z₂ + z₂² (terbukti)

Contoh soal bilangan kompleks nomor 13

Diberikan bilangan kompleks z₁ = 1 – i dan z₂ = 2 + 3i, tentukan invers dari z₁ + z₂.

Pembahasan

z = z₁ + z₂ = (1 – i) + (2 + 3i) = (1 + 2) + (-i + 3i) = 3 + 2i
x = 3 dan y = 2
z^-1 = $\frac {x} {x^{2} + y^2}$ – i $\frac {y} {x^{2} + y^2}$
z^-1 = $\frac {3} {3^{2} + 2^2}$ – i $\frac {2} {3^{2} + 2^2}$
z^-1 = $\frac {3} {13}$ – $\frac {2} {13}$ i

Contoh soal bilangan kompleks nomor 14

Tentukan sekawan setiap bilangan kompleks berikut.
a. 2 + i²
b. 1 + $\frac {1} {i}$
c. 1 + 2i

Pembahasan

a. 2 + i² = 2 + (-1) = 1 + 0i maka bentuk sekawan = 1 – 0i = 1
b. 1 + $\frac {1} {i}$ = 1 – i maka bentuk sekawan = 1 + i
c. 1 + 2i mempunyai bentuk sekawan = 1 – 2i

Contoh soal bilangan kompleks nomor 15

Misalkan diberikan bilangan kompleks z = x + iy. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi Re ( $\overline{2i + 2\bar{z}}$ ) = 8

Pembahasan

2i + $2\bar{z}$ = 2i + 2(x – iy) = 2x + i (2 – y)
$\overline{2i + 2\bar{z}}$ = 2x + i (y -2)
Karena Re ( $\overline{2i + 2\bar{z}}$ ) = 8 maka 2x = 8 atau x = $\frac {8} {2}$ = 4 dan y sembarang bilangan imajiner.

Contoh soal bilangan kompleks nomor 16

Tentukan modulus setiap bilangan kompleks berikut.
a) 2 + i²
b) 1 + $\frac {1} {i}$
c) 1 + 2i

Pembahasan

a) |z| = $\sqrt {1^{2} + 0^2}$ = 1
b) |z| = $\sqrt {1^{2} + (-1)^2}$ = $\sqrt {2}$
c) |z| = $\sqrt {1^{2} + 2^2}$ = $\sqrt {5}$

Contoh soal bilangan kompleks nomor 17

Misalkan diberikan bilangan kompleks z = $\frac {1 - 2i} {3 + 4i}$ . Tentukanlah | $\bar{z}$ |

Pembahasan

| $\bar{z}$ | = $\frac {\sqrt {1^{2} + (-2)^2}} {\sqrt {3^{2} + 4^2}}$ = $\frac {1} {5}$ $\sqrt {5}$

Contoh soal bilangan kompleks nomor 18

Tentukan argumen utama bilangan kompleks berikut.
a. 1 + $\sqrt {3}$ i
b. -i

Pembahasan

Ubah bilangan kompleks ke dalam bentuk polar (lihat contoh soal nomor 3)

a. z = r (cos θ + i sin θ) = 2 (cos 30^o + i sin 30^o) maka Agr (z) = 30^o
b. z = r (cos θ + i sin θ) = cos 180^o + i sin 180^o) maka Agr (z) = 180^o

Contoh soal bilangan kompleks nomor 19

Tentukan argumen bilangan kompleks berikut.
a. 1 + $\sqrt {3}$ i
b. -i

Pembahasan

a. Agr (z) = 30^o + 2kπ untuk k bilangan bulat.
b. Agr (z) = 180^o + 2kπ untuk k bilangan bulat.

Contoh soal bilangan kompleks nomor 20

Tentukan argumen hasil perkalian dan pembagian dari dua kompleks z₁ = 2 dan z₂ = 2(cos 360^o + i sin 360^o)

Pembahasan

a. Agr (z₁ x z₂) = 360^o + 2kπ untuk k bilangan bulat.
b. Agr ( $\frac {z_1} {z_2}$ ) = -360^o + 2kπ untuk k bilangan bulat.