Soal Geometri analitik nomor 1
Diketahui lingkaran L ≡ (x – 4)2 – (y – 4)2 = 16 memotong garis y = 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut.
Pembahasan
Cari cara titik potong yaitu dengan subtitusi y = 4 ke lingkaran L, hasilnya sebagai berikut.
(x – 4)2 – (y – 4)2 = 16
(x – 4)2 – (4 – 4)2 = 16
(x – 4)2 = 16
x – 4 = ±
√ 16
x – 4 = ±4
x = 4 + 4 = 8
x = -4 + 4 = 0
Jadi titik potong lingkaran adalah (0, 4) dan (8, 4).
Cara cari persamaan garis singgung menggunakan persamaan xx1 + yy1 = r2.
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (0, 4) sebagai berikut.
xx1 + yy1 = r2
x . 0 + 4y = 16
y = 16/4
y = 4
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (8, 4) sebagai berikut.
xx1 + yy1 = r2
x . 8 + y . 4 = 16
2x + y = 4
Soal Geometri analitik nomor 2
Tentukan persamaan garis sejajar dengan x + 2y – 5 = 0 yang membagi lingkaran L ≡ x2 + y2 + 10x – 6y – 2 = 0 menjadi dua bagian yang sama.
Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran L diketahui:
A = 10
B = -6
C = -2
Cari titik pusat lingkaran dengan cara di bawah ini.
A = -2a
a = A/-2 = 10/-2 = -5
B = -2b
b = B/-2 = -6/-2 = 3
titik pusat = (-5, 3).
Cari gradien dengan cara di bawah ini.
x + 2y – 5 = 0
2y = -x + 5
y = – 1/2 x + 5/2
m = – 1/2
Cara cari persamaan garis yang sejajar x + 2y – 5 = 0 sebagai berikut.
(y – y1) = m (x – x1)
(y – 3) = – 1/2 (x – (-5))
y – 3 = – 1/2 x – 5/2
2y – 6 = – x – 5
2y + x – 6 + 5 = 0 atau 2y + x – 1 = 0
Soal Geometri analitik nomor 3
Jika kuasa titik M(a, 4) = 0 terhadap lingkaran L ≡ x2 + y2 – 25 = 0, tentukanlah nilai dari a.
Pembahasan
KM(a,4) = a2 + 42 – 25 = 0
a2 + 16 – 25 = 0
a2 – 9 = 0
a2 = 9
a = ±
√ 9
a = ± 3
Jadi nilai a adalah a = 3 atau a = -3.
Soal Geometri analitik nomor 4
Jika A dan B berada pada lingkaran L ≡ x2 + y2 – 6x – 2y + k = 0, maka garis singgung lingkaran yang melalui titik A dan B berpotongan di titik C (8, 1). Jika luas persegi panjang yang melalui titik A, B, dan C serta pusat lingkaran adalah 12, tentukanlah nilai dari k!.
Pembahasan
Cari titik pusat lingkaran.
A = -2a
a = A/-2 = -6/-2 = 3
B = -2b
b = B/-2 = -2/-2 = 1
titik pusat = (3, 1).
Perhatikan gambar di bawah ini.
Berdasarkan gambar luas layang-layang PABC = 2 × luas segitiga PCA.
Luas layang-layang PABC = 2 × 1/2 × PA × AC
12 = PA × AC = r × AC
AC = 12/r … (pers. 1)
Kemudian tentukan jari-jari (r).
r2 = (-A/2)2 + (-B/2)2 – C
r2 = (-(-6)/2))2 + (-(-2)/2))2 – k
r2 = 32 + 12 – k = 10 – k … (pers. 2)
Pada segitiga PAC berlaku rumus pythagoras sebagai berikut.
AC2 = PC2 – AP2 = 52 – r2 = 25 – r2 … (pers. 3)
Subtitusi AC = 12/r (pers. 1) ke persamaan di atas (pers. 3) dan diperoleh hasil sebagai berikut.
(12/r)2 = 25 – r2
144 = (25 – r2)r2
144 = 25r2 – r4
r4 – 25r2 + 144 = 0
(r2 – 16) (r2 – 9) = 0 atau r2 = 16 dan r2 = 9
Subtitusi r2 = 16 dan r2 = 9 ke pers. 2 dan hasilnya sebagai berikut.
r2 = 10 – k
(r2 = 16) maka 16 = 10 – k atau k = 10 – 16 = -6
(r2 = 9) maka k = 10 – 0 = 1
Jadi nilai k yang memenuhi adalah k = -6 atau k = 1.
Soal Geometri analitik nomor 5
Tunjukkan bahwa puncak kedua parabola x2 – 2x – 5y + 11 = 0 dan y2 + 5x – 9 adalah sama, dan tentukan titik perpotongan kedua parabola.
Pembahasan
Persamaan parabola yang pertama diubah bentuknya menjadi sebagai berikut.
x2 – 2x – 5y + 11 = 0
(x – 1)2 + 1 – 5y + 11 = 0
(x – 1)2 = 5y – 10
(x – 1)2 = 5(y – 2)
Titik puncak persamaan parabola yang pertama = (m, n) = (1, 2).
Persamaan parabola kedua diubah bentuknya menjadi sebagai berikut.
y2 + 5x – 9 = 0
(y – 0)2 = -5x + 9
(y – 0)2 = -5 (x – 9/5)
Titik puncak parabola kedua = (m, n) = (9/5, 0).
Kedua parabola memiliki titik puncak yang berbeda. Mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal.
Soal Geometri analitik nomor 6
Diketahui dua fokus elips terletak pada sumbu X. Sumbu mayor dan sumbu minor secara berturut-turut adalah 10 dan 8. Tentukan persamaan elips yang menyinggung sumbu Y.
Pembahasan
Sumbu mayor = 2a
10 = 2a
a = 10 : 2 = 5
Sumbu minor = 8
2b = 8
b = 8 : 2 = 4
Kemudian tentukan titik pusat (m,n)
Karena kedua titik fokus pada sumbu x maka n = 0. Kemudian cari m, dengan cara sebagai berikut.
Titik singgung terhadap sumbu Y = O(0,0)Titik singgung O(0,0) dan n = 0 subtitusi ke persamaan elips.
m2 = 25
m = 5 atau m = -5
Jadi persamaan elips sebagai berikut.
atau
Soal Geometri analitik nomor 7
Hiperbola dengan persamaan xy = 1 merupakan salah satu bentuk hiperbola paling sederhana dan berbentuk siku-siku. Hiperbola xy = 1, dapat diperoleh dengan memutar parabola sejauh 45o di sekitar titik asal. Selidikilah sifat-sifat hiperbola xy = 1.
Pembahasan
Persamaan parabola xy = 1 dapat dinyatakan dengan x = 
- Titik fokus pada (2,2) dan (-2, -2).
- Titik puncak pada (1,1) dan (-1, -1).
- Pusat hiperbola pada titik O(0,0).
- sumbu utama x = y.
- Persamaan direktrik y = -x – 2 dan y = -x + 2
- persamaan asimtot adalah y = 0 dan x = 0.