Artikel ini membahas tentang contoh soal teorema faktor dan pembahasannya. Teorema faktor menyatakan “jika P(x) adalah suatu polinomial dan c adalah bilangan real, maka P(c) = 0 jika dan hanya jika (x – c) merupakan faktor dari P(x).”
Contoh soal teorema faktor
Contoh soal teorema faktor nomor 1
Misalkan P(x) = x3 – 2x2 – 21x – 18. Tunjukkan bahwa P(-1) = 0, dan gunakan hal tersebut untuk memfaktorkan P(x) secara komplet.
Pembahasan
P(x) = x3 – 2x2 – 21x – 18
P(-1) = (-1)3 – 2 (-1)2 – 21 (-1) – 18
P(-1) = -1 – 2 + 21 – 18 = 0
Jadi terbukti P(-1) = 0.
Faktorkan P(x) dengan menggunakan metode horner seperti di bawah ini.
P(x) = (x2 – 3x – 18) (x + 1)
P(x) = (x + 3) (x – 6) (x + 1)
Contoh soal teorema faktor nomor 2
Faktorkan P(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 20 secara komplet.
Pembahasan
Cari pembuat nol dengan cara di bawah ini.
Px) = 2x3 – 3x2 – 12x + 20
P(2) = 2 (2)3 – 3 (2)2 – 12 (2) + 20
P(2) = 2 . 8 – 3 . 4 – 24 + 20
P(2) = 16 – 12 – 4 = 0.
Karena P(2) = 0 maka salah satu pembuat nol adalah 2. Kemudian mencari faktor dari P(x) dengan menggunakan metode horner.
P(x) = (2x2 + x – 10) (x – 2)
P(x) = (2x + 5) (x – 2) (x – 2)
Contoh soal teorema faktor nomor 3
Faktorkan P(x) = 5x3 – 28x2 + 45x – 18 secara komplet.
Pembahasan
Cari pembuat nol dengan cara di bawah ini.
P(x) = 5x3 – 28x2 + 45x – 18
P(2) = 5 (2)3 – 28 (2)2 + 45 (2) – 18
P(2) = 5 (8) – 28 (4) + 90 – 18
P(2) = 40 – 112 + 90 – 18 = 0
Karena P(2) = 0 maka salah satu pembuat nol = 2. Kemudian faktorkan P(x) dengan menggunakan metode horner.
P(x) = (5x2 – 18x + 9) (x – 2)
P(x) = (5x – 3) (x – 3) (x – 2)
Contoh soal teorema faktor nomor 4
Jika P(x) = x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24, tunjukkan bahwa P(-3) = 0 dan P(2) = 0. Gunakan fakta tersebut untuk memfaktorkan P(x) secara komplet.
Pembahasan
P(x) = x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24
P(-3) = (-3)4 – 2 (-3)3 – 13 (-3)2 + 14 (-3) + 24
P(-3) = 81 – 2 (-27) – 13 . 9 – 42 + 24
P(-3) = 81 + 54 – 117 – 18 = 0
P(x) = x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24
P(2) = (2)4 – 2 (2)3 – 13 (2)2 + 14 (2) + 24
P(2) = 16 – 2 (8) – 13 . 4 + 28 + 24
P(2) = 16 – 16 – 52 + 28 + 24 = 0
Dari hasil perhitungan di atas maka P(-3) = 0 dan P(2) = 0 terbukti. Kemudian faktorkan P(x) dengan menggunakan metode horner.
P(x) = (x2 – 3x – 4) (x – 2) (x + 3) = ((x + 1) (x – 4) (x – 2) (x + 3).
Contoh soal teorema faktor nomor 5
Jika x + 2 dan x – 3 adalah faktor dari P(x) = 2x3 + ax2 + bx + 18, tentukan nilai a dan b.
Pembahasan
Bagi P(x) dengan (x + 2) dengan cara di bawah ini.
18 – 2(b – 2(a – 4)) = 0
2(b – 2(a – 4) = 18
b – 2(a – 4) = 9
b – 2a + 8 = 9
b – 2a = 1 … (persamaan 1).
Bagi P(x) dengan (x – 3) dengan cara di bawah ini,
18 + 3(b + 3(a + 6)) = 0
3(b + 3(a + 6)) = -18
b + 3a + 18 = -6
b + 3a = -24 … (persamaan 2)
Eliminasi b pada persamaan 1 dan 2.
b – 2a = 1
b + 3a = -24
______________ –
-5a = 25
a = 25 : -5 = -5
Subtitusi a = -5 ke persamaan 1.
b – 2a = 1
b – 2 (-5) = 1
b + 10 = 1
b = 1 – 10 = -9
Jadi a = -5 dan b = -9.