Lompat ke konten

4 contoh soal elips dan pembahasannya

  • oleh

Artikel ini membahas contoh soal elips dan pembahasannya. Elips adalah kumpulan titik-titik dalam bidang datar yang jumlah jarak kedua titik tertentu selalu sama, kedua titik tersebut disebut dengan titik fokus. Persamaan elips yang sumbu mayornya = sumbu X atau sejajar sumbu X sebagai berikut.

(x – m)2
a2
 +
(y – n)2
b2
 = 1

Keterangan:

  • Titik pusat = (m, n)
  • Fokus elips = (m ± c, n)
  • Titik puncak = (m ± a, n)

Persamaan elips yang sumbu mayornya = sumbu Y atau sejajar sumbu Y sebagai berikut.

(x – m)2
b2
 +
(y – n)2
a2
 = 1

Keterangan:

  • Titik pusat = (m, n)
  • Fokus elips = (m, n ± c)
  • Titik puncak = (m, n ± a)

Rumus unsur-unsur elips lainnya sebagai berikut.

Panjang sumbu mayor = 2a
Panjang sumbu minor = 2b
Eksentrisitas (e) =
c
a
Panjang lactus rektum =
2b2
a
Persamaan garis direktrik elips horizontal = x =
a2
c
 dan x’ = –
a2
c
Persamaan garis direktrik elips vertikal = y =
a2
c
 dan y’ = –
a2
e

Contoh soal elips

Contoh soal elips nomor 1

Tentukan fokus dan pusat elips jika persamaannya adalah
a. 9x2 + 25y2 – 18x + 100y – 116 = 0
b. 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0

Pembahasan

  • Jawaban a

Ubah persamaan elips menjadi seperti di bawah ini.

9x2 + 25y2 – 18x + 100y – 116 = 0
9x2 – 18x + 25y2 + 100y – 116 = 0
9(x2 – 2x) + 25(y2 + 4y) – 116 = 0
9(x – 1)2 – 9 + 25(y + 2)2 – 100 – 116 = 0
9(x – 1)2 + 25(y + 2)2 – 225 = 0
9(x – 1)2 + 25(y + 2)2 = 225
9(x – 1)2
225
 +
25(y + 2)2
225
 =
225
225
(x – 1)2
25
 +
(y + 2)2
9
 = 1

Berdasarkan persamaan elips di atas, diketahui:

  • m = 1
  • n = -2
  • a2 = 25 atau a = 5
  • b2 = 9 atau b = 3
  • c2 = 25 – 9 = 16 atau c = 4

Maka fokus dan pusat elips sebagai berikut.
Fokus elips = (m ± c, n) = F1(1 + 4, -2) dan F2(1 – 4, -2) = F1(5, -2) dan F2(-3, -2).
Pusat elips = (m, n) = (1, -2).

  • Jawaban b

Ubah persamaan elips menjadi seperti di bawah ini.

9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0
9x2 – 36x + 25y2 + 50y – 164 = 0
9(x2 – 4x) + 25(y2 + 2y) – 164 = 0
9(x – 2)2 – 36 + 25(y + 1)2 – 25 – 164 = 0
9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 – 225 = 0
9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225
9(x – 2)2
225
 +
25(y + 1)2
225
 =
225
225
(x – 2)2
25
 +
(y + 1)2
9
 = 1

Diketahui:

  • m = 2
  • n = -1
  • a2 = 25 atau a = 5
  • b2 = 9 atau b = 3
  • c2 = 25 – 9 = 16 atau c = 4

Maka fokus dan pusat elips sebagai berikut.
Fokus elips = (m ± c, n) = F1(2 + 4, -1) dan F2(2 – 4, -1) = F1(6, -1) dan F2(-2, -1).
Pusat elips = (m, n) = (2, -1).

Contoh soal elips nomor 2

Tentukan persamaan elips jika diketahui
a. titik fokus (0, ±6) dan puncak (0, ±7).
b. titik puncak (±5, 0) dan latus rektus 4/5.
c. titik fokus pada (1, -1) dan (1, -3) serta menyinggung sumbu Y.
d. pusat di (1, -4), salah satu fokusnya adalah (-1, 1), serta melalui titik (0, 8).

Pembahasan

  • Jawaban a

Diketahui:
Fokus elips = (m, n ± c) = (0, ±6)
Puncak = (m, n ± a) = (0, ±7)
m = 0
n = 0
c = 6
a = 7
b2 = a2 – c2 = 72 – 62 = 49 – 36 = 13.

Maka persamaan elips sebagai berikut.

(x – m)2
b2
 +
(y – n)2
a2
 = 1
(x – 0)2
13
 +
(y – 0)2
72
 = 1
x2
13
 +
y2
49
 = 1
  • Jawaban b

Diketahui:
Titik puncak = (m ± a, n) = (±5, 0)
m = 0
a = 5
n = 0

Maka persamaan elips sebagai berikut.

L =
2b2
a
4
5
 =
2b2
5
b2 = 2
(x – m)2
a2
 +
(y – n)2
b2
 = 1
(x – 0)2
52
 +
(y – 0)2
2
 = 1
x2
25
 +
y2
2
 = 1
  • Jawaban c

Diketahui:
Fokus elips = (m, n ± c) = F1(1, -1) dan F2(1, -3).
m = 1
n + c = -1
n – c = -3
___________+
2n = -4
n = -2
Subtitusi n = -2 ke persamaan n – c = -3 dan diperoleh nilai c sebagai berikut.
c = n + 3 = -2 + 3 = 1
b = m = 1 (menyinggung sumbu y)
a2 = b2 + c2 = 12 + 12 = 2.

Maka persamaan elips sebagai berikut.

(x – m)2
b2
 +
(y – n)2
a2
 = 1
(x – 0)2
12
 +
(y – 0)2
2
 = 1
x2
1
 +
y2
2
 = 1
  • Jawaban d

Diketahui:
m = -1
n = 4
Fokus = (m, n ± c) = (-1, 1)
n ± c = 1
±c = 1 – n = 1 – 4 = -3
c = -3
a2 = b2 + c2
a2 = b2 + (-3)2
a2 = b2 + 9 …. (persamaan 1)

Subtitusi m = -1, n = 4 dan titik (0,8) ke persamaan elips di bawah ini.

(x – m)2
b2
 +
(y – n)2
a2
 = 1
(0 – (-1))2
b2
 +
(8 – 4)2
a2
 = 1
1
b2
 +
16
a2
 = 1 … (persamaan 2)

Subtitusi a2 (persamaan 1) ke persamaan 2.

1
b2
 +
16
a2
 = 1
1
b2
 +
16
b2 + 9
 = 1
b2 + 9 + 16b2
b2 (b2 + 9)
 = 1
17b2 + 9 = b2 (b2 + 9)
17b2 + 9 = b4 + 9b2
b4 – 8b2 – 9 = 0
(b2 – 9)(b2 + 1)
b2 = 9 atau b2 = -1

Ambil b2 yang positif atau b2 = 9, kemudian subtitusi ke persamaan 1 untuk mendapatkan a2.
a2 = b2 + 9
a2 = 9 + 9 = 18

Maka persamaan elips sebagai berikut.

(x – m)2
b2
 +
(y – n)2
a2
 = 1
(x – (-1))2
9
 +
(y – 4)2
18
 = 1
(x + 1)2
9
 +
(y – 4)2
18
 = 1

Contoh soal elips nomor 3

JIka eksentrisitas suatu elip adalah 12/13 dan jarak antara dua titik fokusnya adalah 36, tentukan persamaan elips tersebut.

Pembahasan

2c = 36
c =
36
2
 = 18
e =
c
a
 =
12
13
18
a
 =
12
13
a =
18 x 13
12
 = 19,5
b2 = a2 – c2
b2 = (19,5)2 – 182 = 56,25

Maka persamaan elips sebagai berikut.

x2
a2
 +
y2
b2
 = 1
x2
380,25
 +
y2
56,25
 = 1

Contoh soal elips nomor 4

Diketahui koordinat titik fokus suatu elips adalah F1(8, -1) dan F2(-4, -1) serta salah satu koordinat ujung sumbu minornya adalah (2, 7), tentukan persamaan elips tersebut.

Pembahasan

Diketahui:
m + c = 8
m – c = -4
___________+
2m = 4
m = 2
Subtitusi m = 2 ke m + c = 8
2 + c = 8 maka c = 8 – 2 = 6
n = -1
b + n = 7 (sumbu minor)
b – 1 = 7 maka b = 7 + 1 = 8
a2 = b2 + c2 = 82 + 62 = 100

Maka persamaan elips sebagai berikut.

(x – m)2
a2
 +
(y – n)2
b2
 = 1
(x – 2)2
100
 +
(y + 1)2
64
 = 1
Tag:

You cannot copy content of this page