3 contoh soal hiperbola dan pembahasan

Artikel ini membahas contoh soal hiperbola dan pembahasannya. Hiperbola merupakan sebuah kurva yang dibentuk oleh perpotongan dua kerucut yang berlawanan dan bidang yang memotong setengah dari kerucut tersebut. Hiperbola merupakan tempat lintasan titik-titik dengan eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Selain itu, ada definisi lain yang menyatakan bahwa hiperbola adalah himpunan titik-titik yang jarak antara dua titik tertentu pada bidang selalu sama. Kedua titik tersebut disebut dengan fokus hiperbola, selisih kedua titik ini bisa disebut dengan 2a.

Persamaan hiperbola horizontal (titik fokus di sumbu x atau sumbu utama sejajar sumbu x) sebagai berikut.

(x – m)²

a²

–

(y – n)²

b²

= 1

Keterangan:

Titik pusat berada pada (m, n)
Fokus berada pada (m ± c, n) dan puncak berada pada (m ± a, n)
Panjang sumbu mayor = 2a
Nilai eksentrisitas (e) =

c

a

Latus rectum =

2b²

a

Persamaan asimtot (y – n) = ±

b

a

(x – m)
Persamaan direktriks (x) = ±

a²

c

+ m

Persamaan hiperbola vertikal (titik fokus di sumbu y atau sumbu utama sejajar sumbu y) sebagai berikut.

(y – n)²

a²

–

(x – m)²

b²

= 1

Keterangan

Titik pusat berada pada (m, n)
Fokus berada pada (m, n ± c) dan puncak berada pada (m, n ± a)
Panjang sumbu mayor = 2a
Nilai eksentrisitas (e) =

c

a

Latus rectum =

2b²

a

Persamaan asimtot (y – n) = ±

a

b

(x – m)

Contoh soal hiperbola

Contoh soal hiperbola nomor 1

Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, jarak kedua fokus, dan persamaan asimtot dari hiperbola dengan persamaan:
a. 4x² – 9y² = 36
b. 16x² – 9y² – 64x – 54y = 161

Pembahasan

• Jawaban a

Ubah persamaan hiperbola menjadi persamaan seperti di bawah ini.

4x² – 9y² = 36

4x²

36

–

9y²

36

=

36

36

x²

9

–

y²

4

=

Berdasarkan persamaan hiperbola di atas, diketahui:

• m = 0
• n = 0
• a² = 9 atau a = 3
• b² = 4 atau b = 2
• c² = 9 – 4 = 5 atau c = √ 5  

Maka diperoleh hasil sebagai berikut.

Titik pusat = (m, n) = (0, 0)
Titik fokus = (m ± c, n) = (± √ 5   , 0)
Titik puncak (m ± a, n) = (±3, 0)
Jarak kedua fokus = 2c = 2 √ 5  
Persamaan asimtot (y) = ±

b

a

x = ±

2

3

x

• Jawaban b

Ubah persamaan hiperbola menjadi seperti di bawah ini.

16x² – 9y² – 64x – 54y = 161
16x² – 64x – 9y² – 54y = 161
16(x² – 4x) – 9(y² + 6y) = 161
16(x – 2)² – 64 – 9(y + 3)² + 81 = 161
16(x – 2)² – 9(y + 3)² = 161 + 64 – 81 = 144

16(x – 2)²

144

–

9(y + 3)²

144

=

144

144

(x – 2)²

9

–

(y + 3)²

16

= 1

Berdasarkan persamaan hiperbola di atas, diketahui:

• m = 2
• n = -3
• a² = 9 atau a = 3
• b² = 16 atau b = 4
• c² = 9 + 16 = 25 atau c = √ 25   = 5

Maka diperoleh hasil sebagai berikut.

Titik pusat = (m, n) = (2, -3)
Titik fokus = (m ± c, n) = (2 ± 5, -3)
Titik puncak (m ± a, n) = (2 ± 3, -3)
Jarak kedua fokus = 2c = 2 . 5 = 10
Persamaan asimtot (y – n) = ±

b

a

(x – m)
y + 3 = ±

4

3

(x – 2)

---

Contoh soal hiperbola nomor 2

Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui:
a. titik pusat O(0,0), titik fokus (8,0) dan (-8,0), titik puncak pada (6,0) dan (-6,0).
b. titik puncak (2,2) dan (-8,2) serta asimtot 3x – 5y = 19.
c. puncak (7,3) dan (-1,3) serta melalui (8, 4 1/2)
d. hiperbola melalui (1, √ 3   ) dan asimtot y = ± 2x.

Pembahasan

• Jawaban a

Diketahui:
m = 0
n = 0
c = 8
a = 6
b² = 64 – 36 = 28

Maka persamaan hiperbola sebagai berikut.

(x – m)²

a²

–

(y – n)²

b²

= 1

(x – 0)²

6²

–

(y – 0)²

28

= 1

x²

36

–

y²

28

= 1

• Jawaban b

Diketahui
m + a = 2
m – a = -8
____________+
2m = -6
m = -6 : 2 = -3
m + a = 2 atau -3 + a = 2 maka a = 5
n = 2

Subtitusi m = -3, n = 2 dan a = 5 ke persamaan asimtot di bawah ini.

y – n =

b

a

(x – m)
y – 2 =

b

-3

(x – (-3))
-3(y – 2) = b(x + 3)
-3y + 6 = bx + 3b
bx + 3y = 6 – 3b

Bandingkan persamaan asimtot bx – 3y = 6 – 3b dengan 3x – 5y = 19
bx – 3y = 6 – 3b (x 5)
3x – 5y = 19 (x 3)
5bx – 15y = 30 – 15b
9x – 15t = 57
5b = 9
b = 9/5 = 1,8

Maka persamaan hiperbola sebagai berikut.

(x – m)²

a²

–

(y – n)²

b²

= 1

(x – (-3))²

5²

–

(y – 2)²

1,8²

= 1

(x + 3)²

25

–

(y – 2)²

3,24

= 1

• Jawaban c

Diketahui
m + a = 7
m – a = -1
____________+
2m = 6
m = 6 : 2 = 3
m + a = 7 atau 3 + a = 7 maka a = 4
n = 3

Subtitusi m = 3, n = 3, a = 4 dan titik (8,4 1/2) ke persamaan hiperbola di bawah ini.

(x – m)²

a²

–

(y – n)²

b²

= 1

(8 – 3)²

4²

–

(4,5 – 3)²

b²

= 1

25

16

–

2,25

b²

= 1

2,25

b²

=

25

16

– 1 =

25

16

–

16

16

=

9

16

b² =

2,25 x 16

9

= 4

Maka persamaan hiperbola sebagai berikut.

(x – m)²

a²

–

(y – n)²

b²

= 1

(x – 3)²

4²

–

(y – 3)²

4

= 1

(x – 3)²

16

–

(y – 3)²

4

= 1

• Jawaban d

Asimtot y = ±

b

a

= ± 2
b = 2k dan a = k
Subtitusi b = 2k, a = k dan titik (1, √

3

) ke persamaan hiperbola di bawah ini

x²

a²

–

y²

b²

= 1

1²

k²

–

(√

3

)²

(2k)²

= 1
(2k)² – 3k² = k² (2k)²
4 – 3 = 4k² k² =

1

4

k =

1

2

b = 2k = 2 .

1

2

= 1
a = k =

1

2

Maka persamaan hiperbola sebagai berikut.

x²

a²

–

y²

b²

= 1

x²

(1/2)²

–

y²

1²

= 1

x²

1/4

–

y²

1

= 1

---

Contoh soal hiperbola nomor 3

Tentukan fokus, eksentrisitas, panjang latus rectum, dan persamaan direktris dari hiperbola.
a. 4x² – 25y² = 100
b. 4x² – 9y² – 16x + 18y = 29

Pembahasan

• Jawaban a

Ubah persamaan hiperbola seperti dibawah ini.

4x² – 25y² = 100

4x²

100

–

25y²

100

=

100

100

x²

25

–

y²

4

= 1

Maka diperoleh hasil sebagai berikut

c² = 25 – 4 = 21 atau c = √

21

Fokus = (±c, 0) = (±√

21

, 0)
eksentrisitas =

c

a

=

√

21

5

Latus rectum =

2b²

a

=

2 . 4

5

=

8

5

Persamaan direktris (x) = ±

a²

c

= = ±

25

√

21

• Jawaban b

Ubah persamaan hiperbola menjadi seperti di bawah ini.

4x² – 9y² – 16x + 18y = 29
4x² – 16x – 9y² + 18y = 29
4(x² – 4) – 9(y² – 2) = 29
4(x – 2)² – 16 – 9(y – 1)² + 9 = 29
4(x – 2)² – 9(y – 1)² = 29 – 9 + 16 = 36

4(x – 2)²

36

–

9(y – 1)²

36

=

36

36

(x – 2)²

9

–

(y – 1)²

4

= 1

Diperoleh hasil sebagai berikut.

c² = 9 – 4 = 5 atau c = √

5

Fokus = (m ± c, n) = (2 ± √

5

, 1)
eksentrisitas =

c

a

=

√

5

3

Latus rectum =

2b²

a

=

2 . 4

3

=

8

3

Persamaan direktris (x) = ±

a²

c

+ m = ±

9

√

5

+ 2